AMC 10 · 2002 · #20
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문자가 셋인데 방정식이 둘이면 a, b, c 를 각각 따로 확정할 수는 없지만, 셋 중 하나를 고르고 나면 나머지 둘은 확정하기에 충분하다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 자유를 지렛대로 삼는다: a 를 자유로운 대리값으로 남겨 두고 두 일차방정식을 b 와 c 에 대해 a 로 푼다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)로 목표 식 a² - b² + c²을 영리하게 다시 쓴다 — c² - b²을 제곱의 차 (c-b)(c+b)로 묶어 — 그러면 지저분한 분수가 무너지고 남은 a 가 상쇄된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 안전망이다: 값이 상수로 약속되어 있으므로, 문자 하나에 편리한 값을 대입해도 같은 수가 나와야 하며, 이것이 빠른 확인 역할도 한다.
a 를 써서 b 와 c 풀기
a를 자유롭게 두고 두 식을 나머지 둘에 대해 풀면 b = (12 - 13a)/5, c = (13 - 12a)/5이다.
세 번째 문자를 자유롭게 놓아두면 두 방정식이 나머지 두 문자를 확정할 수 있다.
8.EE.C.8Introduce A Variablec 제곱 빼기 b 제곱 묶기
목표를 a² + (c² - b²)로 보고 분수를 제곱하는 대신 c - b = (1 + a)/5, c + b = 5(1 - a)를 쓴다.
제곱의 차는 어려운 제곱 두 번을 쉬운 뺄셈 한 번 곱하기 쉬운 덧셈 한 번으로 바꾼다.
두 제곱의 차는 어려운 제곱 둘을 쉬운 뺄셈 하나와 쉬운 덧셈 하나의 곱으로 바꾼다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것이다.
▸ 왜?
그 곱을 펼치면 각 항이 다른 쪽에 퍼지며, 그래서 가운데 항이 지워진다.
곱하고 a 제곱 상쇄하기
두 조각을 곱하면 (1 + a)(1 - a) = 1 - a²이므로 a² - b² + c² = a² + (1 - a²) = 1, 즉 (B)다.
자유로운 문자가 남긴 유일한 잔여물이 스스로 상쇄되면, 남는 값은 모든 유효한 a, b, c 에 대해 같아야 한다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways두 방정식이 확정할 수 있는 것보다 더 많은 문자를 공유할 때는, 한 문자를 자유롭게 놓고 나머지를 푼 다음 잔여물이 상쇄되는 것을 지켜보라 — 끝까지 살아남는 값이 처음부터 고정되어 있던 답이다.
- a 를 써서 b 와 c 풀기
- c 제곱 빼기 b 제곱 묶기
- 곱하고 a 제곱 상쇄하기