AMC 10 · 2002 · #1

학년 8 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsdecimal-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

비 $\frac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ 의 값에 가장 가까운 수는 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.1

(B)

0.2

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ 의 값을 구하고, 주어진 수 중 어느 것에 가장 가까운지 정하세요.

주어진 것: 분수 $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$; 분자: 지수가 $2000$ 과 $2002$ 인 두 개의 $10$의 거듭제곱의 합; 분모: 같은 거듭제곱 $10^{2001}$ 을 자기 자신에 더한 것; 선택지: (A) $0.1$, (B) $0.2$, (C) $1$, (D) $5$, (E) $10$

구하는 것: 이 분수가 어느 선택지에 가장 가까운가

이해

문제 재정리: $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ 의 값을 구하고, 주어진 수 중 어느 것에 가장 가까운지 정하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

이 분수는 거대한 지수 때문에 무서워 보일 뿐이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 일을 세 조각으로 나눈다 — 분자를 인수분해하고, 분모를 합치고, 약분한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 가 지수를 무력화하는 핵심이다 — 분자와 분모에서 공통 인수 $10^{2000}$ 을 뽑아내면 거대한 거듭제곱이 한 번에 사라지고, 작은 자연수로 된 아주 작은 분수만 남는다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기) 가 '가장 가깝다'를 처리한다 — 값이 $5.05$ 로 정해지면 선택지 $0.1$, $0.2$, $1$, $10$ 은 모두 멀리 떨어져 있으므로 $5$ 만 살아남는다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 1

분자 인수분해하기

분자의 두 항은 모두 $10$의 거듭제곱이므로, 더 작은 것인 $10^{2000}$ 을 뽑아낸다.
$10^{2002}=10^{2000}\cdot 10^{2}$ 이므로 분자는 $10^{2000}+10^{2002}=10^{2000}(1+10^{2})=10^{2000}\cdot 101$ 이 된다.
무섭던 지수 $2002$ 가 이제는 $101$ 이라는 인수로 바뀌었다.

$$10^{2000}+10^{2002}=10^{2000}(1+10^{2})=101\cdot 10^{2000}$$

💡 밑이 같은 거듭제곱을 더할 때는 가장 작은 거듭제곱을 뽑아낼 수 있어, 지수가 평범한 수로 줄어든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

분모 합치기

분모는 한 양을 자기 자신에 더한 것이다: $10^{2001}+10^{2001}=2\cdot 10^{2001}$.
분자의 인수 $10^{2000}$ 에 맞추기 위해 $10^{2001}=10\cdot 10^{2000}$ 으로 쓰면, 분모는 $2\cdot 10\cdot 10^{2000}=20\cdot 10^{2000}$ 이 된다.

$$10^{2001}+10^{2001}=2\cdot 10^{2001}=20\cdot 10^{2000}$$

💡 무엇이든 자기 자신에 더하면 그 두 배일 뿐이고, $10$ 을 하나 더 곱하면 $10^{2001}$ 이 $10\cdot 10^{2000}$ 이 된다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 3

공통 거듭제곱 10 약분하기

이제 분수는 $\dfrac{101\cdot 10^{2000}}{20\cdot 10^{2000}}$ 이다.
인수 $10^{2000}$ 이 분자와 분모에 모두 있어 완전히 약분되고, $\dfrac{101}{20}$ 만 남는다.
거대한 지수는 모두 사라졌다.

$$\dfrac{101\cdot 10^{2000}}{20\cdot 10^{2000}}=\dfrac{101}{20}$$

💡 분자와 분모가 함께 가진 인수는 아무리 커도 나누면 $1$ 이 되어 사라진다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 4

나누고 가장 가까운 선택지 고르기

나눈다: $\dfrac{101}{20}=5.05$.
선택지와 비교하면 $0.1$, $0.2$, $1$, $10$ 은 모두 멀리 떨어져 있고, $5$ 는 겨우 $0.05$ 차이다.
따라서 분수는 $5$ 에 가장 가깝고, 이것이 선택지 (D) 이다.

$$\dfrac{101}{20}=5.05\approx 5\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 괴물 같던 분수가 $101/20$ 으로 줄어들면, 평범한 나눗셈이 어느 선택지가 가장 가까운지 정해 준다.

[1] #7 8.EE.A.1 분자의 두 항은 모두 $10$의 거듭제곱이므로, 더 작은 것인 $10^{2000}$ 을 뽑아낸다. $10^{2002}=10^{2000}\cdot

[2] #7 6.EE.A.3 분모는 한 양을 자기 자신에 더한 것이다: $10^{2001}+10^{2001}=2\cdot 10^{2001}$. 분자의 인수 $10^{2000

[3] #9 8.EE.A.1 이제 분수는 $\dfrac{101\cdot 10^{2000}}{20\cdot 10^{2000}}$ 이다. 인수 $10^{2000}$ 이 분자와

[4] #3 5.NBT.B.7 나눈다: $\dfrac{101}{20}=5.05$. 선택지와 비교하면 $0.1$, $0.2$, $1$, $10$ 은 모두 멀리 떨어져 있고, $

검토

합리성 확인: 빠른 어림으로 확인된다: 분자는 $10^{2002}$ 가 지배하는데 이는 $10^{2000}$ 의 $100$ 배이고, 분모는 $2\cdot 10^{2001}=20\cdot 10^{2000}$ 이므로 비는 대략 $\tfrac{100}{20}=5$ 이다. 분자에 남은 작은 $+10^{2000}$ 이 값을 $5.05$ 로 살짝 밀어 올릴 뿐이다. 그래서 $5$ 근처의 값이 정확히 예상되는 결과이며, 다른 모든 선택지를 배제한다.

대안 접근: 먼저 각 항을 $10^{2000}$ 으로 나눌 수도 있다: 분수는 $\dfrac{1+10^{2}}{10+10}=\dfrac{1+100}{20}=\dfrac{101}{20}=5.05$ 가 되어, 인수분해 없이 바로 (D) 에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($10^{2002}=10^{2000}\cdot 10^{2}$ 와 $10^{2001}=10\cdot 10^{2000}$ 으로 다시 써서 공통 거듭제곱 $10^{2000}$ 을 뽑아내고 약분하는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (분모의 같은 항 $10^{2001}+10^{2001}$ 을 $2\cdot 10^{2001}$ 으로 합치는 데 사용.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths ($\tfrac{101}{20}=5.05$ 를 나누고 선택지와 비교해 가장 가까운 것을 찾는 데 사용.)

⭐ 모든 항이 같은 밑의 거듭제곱이면 가장 작은 거듭제곱을 뽑아내 약분하라 — 거대한 지수가 사라지고 아주 작은 분수만 남는다.