AMC 10 · 2002 · #10

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-factoringvieta-formulas convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6)=0$ 의 모든 근의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{2}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6)=0$을 만족하는 모든 $x$ 값의 합을 구하여라.

주어진 것: 방정식 $(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6)=0$; 두 곱을 더한 형태로 쓰여 있고, 두 곱은 모두 $(2x+3)$이라는 공통 인수를 갖는다; 보기: (A) $\frac{7}{2}$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $13$

구하는 것: 모든 근의 합 (방정식을 만족하는 모든 $x$ 값의 합)

이해

문제 재정리: $(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6)=0$을 만족하는 모든 $x$ 값의 합을 구하여라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기

모두 전개하는 대신 좌변의 모양을 보자: $(2x+3)$ 곱하기 어떤 것 더하기 $(2x+3)$ 곱하기 또 다른 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 전개하지 말고 이 구조를 읽으라고 한다. 공통 인수 $(2x+3)$을 밖으로 묶어낼 수 있기 때문이다. 0이 되는 곱의 꼴로 인수분해되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이어받는다: 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이므로, 어려운 방정식 하나가 쉬운 일차방정식 두 개로 갈라진다. 각각을 풀어 근을 하나씩 구한 뒤 그 근들을 더한다.

실행 — 정답: A

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

공통 인수 묶어내기

좌변의 두 항은 모두 공통 인수 $(2x+3)$을 가지므로, $ab+ac=a(b+c)$가 성립하는 것처럼 그 인수를 밖으로 묶어낸다.
그러면 $(2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big]$이 남는다.
괄호 안의 동류항을 정리하면 $(x-4)+(x-6)=2x-10$이다.
방정식은 $(2x+3)(2x-10)=0$이 된다.

$$(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6) = (2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big] = (2x+3)(2x-10) = 0$$

💡 모든 조각이 같은 인수를 지니고 있으면, 그 인수를 다시 곱하는 대신 한 번에 묶어낼 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 2

두 일차방정식으로 나누기

두 수의 곱이 0이 되는 것은 둘 중 적어도 하나가 0일 때뿐이다.
따라서 $(2x+3)(2x-10)=0$은 $2x+3=0$ 또는 $2x-10=0$을 뜻한다.
각각을 풀면 $2x+3=0$에서 $x=-\dfrac{3}{2}$, $2x-10=0$에서 $x=5$이다.
이 둘이 두 근이다.

$$2x+3=0 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}, \qquad 2x-10=0 \Rightarrow x=5$$

💡 두 수를 곱해서 0이 되었다면 그중 하나는 0이어야 하므로, 각 인수가 근을 하나씩 내어 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 3

두 근을 더하기

문제는 근의 합을 물으므로 둘을 더한다: $-\dfrac{3}{2}+5$.
$5$를 $\dfrac{10}{2}$로 쓰면 $-\dfrac{3}{2}+\dfrac{10}{2}=\dfrac{7}{2}$이다.
모든 근의 합은 $\dfrac{7}{2}$이고, 이는 보기 (A)이다.

$$-\dfrac{3}{2}+5 = -\dfrac{3}{2}+\dfrac{10}{2} = \dfrac{7}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 음의 분수와 자연수를 더하는 것은 같은 분모로 맞춰 나란히 놓는 일일 뿐이다.

[1] #16 6.EE.A.3 좌변의 두 항은 모두 공통 인수 $(2x+3)$을 가지므로, $ab+ac=a(b+c)$가 성립하는 것처럼 그 인수를 밖으로 묶어낸다. 그러면 $

[2] #7 8.EE.C.7 두 수의 곱이 0이 되는 것은 둘 중 적어도 하나가 0일 때뿐이다. 따라서 $(2x+3)(2x-10)=0$은 $2x+3=0$ 또는 $2x-10=

[3] #7 7.NS.A.1 문제는 근의 합을 물으므로 둘을 더한다: $-\dfrac{3}{2}+5$. $5$를 $\dfrac{10}{2}$로 쓰면 $-\dfrac{3}{2

검토

합리성 확인: 두 근은 $-1.5$와 $5$이고 $-1.5+5=3.5=\dfrac{7}{2}$로 보기 (A)와 일치한다. 크기로 확인해 보면 부호도 맞는다: 한 근은 작은 음수이고 다른 근은 $5$이므로 그 합은 $5$보다 조금 작아야 하는데, $3.5$가 바로 그 자리에 놓인다. 이 방정식은 이차식($x^2$이 최고차항)이므로 근이 두 개인 것이 맞고, 빠뜨린 세 번째 근은 없다. 보기 (D) $7$은 각 인수에서 $2$로 나누는 것을 잊은 사람을 위한 함정이다.

대안 접근: 인수분해 대신 전개해도 된다. $(2x+3)(x-4)=2x^2-5x-12$, $(2x+3)(x-6)=2x^2-9x-18$이고 더하면 $4x^2-14x-30=0$이다. 비에트 정리에 따르면 $ax^2+bx+c=0$의 두 근의 합은 $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-14}{4}=\dfrac{7}{2}$로 같은 답 (A)를 얻는다 — 이 방법은 각 근을 따로 구할 필요조차 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (공통 인수 $(2x+3)$을 두 항에서 묶어내고 $(x-4)+(x-6)$을 $2x-10$으로 정리하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($2x+3=0$과 $2x-10=0$을 풀어 근 $x=-\tfrac{3}{2}$와 $x=5$를 구하는 데 사용.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (근 $-\tfrac{3}{2}+5=\tfrac{7}{2}$을 더하는 데 사용.)

⭐ 두 항이 공통 인수를 가지면 먼저 그것을 묶어내라 — 0이 되는 곱은 각 인수마다 쉬운 방정식 하나로 문제를 쪼개 준다.