AMC 10 · 2002 · #13

학년 8 geometry-2d

area-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 15, 20, 25인 삼각형이 있다. 세 높이는 각 꼭짓점에서 마주 보는 변에 수직으로 내린 선분의 길이이다. 가장 짧은 높이의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

12.5

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

삼각형의 넓이는 1/2×밑변×높이이고, 어느 변을 밑변으로 삼든 이 넓이는 변하지 않는다. 따라서 밑변 s와 그에 대응하는 높이 h에 대해 곱 s × h는 항상 넓이의 두 배, 즉 일정한 값이다. 도구 #14(극단의 원리)는 이것을 곧바로 읽어 낸다: s × h가 일정하다면 h를 가장 작게 만들려면 가장 긴 변 s에 높이를 내려야 한다. 그래서 가장 짧은 높이는 가장 긴 변에 내린 것이다. 먼저 넓이를 구하고(도구 #5가 15,20,25가 직각삼각형임을 알아채므로 쉽다), 넓이의 두 배를 가장 긴 변으로 나눈다.

1STEP 1

직각삼각형임을 알아채기

$15^2+20^2=625=25^2$ 이므로 다리 15, 20, 빗변 25인 직각삼각형이다(3-4-5의 5배).

15²+20² = 225+400 = 625 = 25² → 직각삼각형, 다리 15,20, 빗변 25

2STEP 2

넓이 구하기

두 다리가 서로 수직이라 밑변과 높이가 되므로, 넓이는 $\frac{1}{2}\times 15\times 20$ , 즉 150이다.

넓이 = 1/2 × 15 × 20 = 150

3STEP 3

가장 짧은 높이를 가장 긴 변에 맞추기

밑변 $s$ 에 대해 $h=\frac{300}{s}$ 이고 분자 300은 고정이므로, 가장 긴 변 25에 내린 높이가 가장 짧다.

h = 300/s; s 가 클수록 → h 는 작아짐; s_max=25

4STEP 4

나눗셈으로 높이 구하기

가장 긴 변으로 나누면 $h=\frac{300}{25}$ 이므로, 가장 짧은 높이는 12, 즉 보기 (B)이다.

h = 300/25 = 12 → (B)

정답

가장 작은 높이를 제대로 찾았는지 세 높이를 모두 계산해 확인한다: 변 15에는 h=300/15=20, 변 20에는 h=300/20=15, 변 25에는 h=300/25=12이다. 세 높이는 20, 15, 12이고 12가 가장 작으므로 보기 (B)와 일치한다. 또한 빗변에 내린 높이(12)가 두 다리(15와 20)보다 짧은 것도 자연스럽다. 다리 자체가 다른 다리에 대한 높이이기 때문이다. 보기 (E) 15는 빗변이 아니라 다리에서 멈춘 사람을 위한 함정이다.

💡핵심 정리

밑변 곱하기 높이는 넓이의 두 배로 일정하므로, 가장 짧은 높이는 언제나 가장 긴 변에 내려간다 — 넓이를 구한 뒤 가장 긴 변으로 나누면 된다.

직각삼각형임을 알아채기
넓이 구하기
가장 짧은 높이를 가장 긴 변에 맞추기
나눗셈으로 높이 구하기

직각삼각형임을 알아채기

넓이 구하기

가장 짧은 높이를 가장 긴 변에 맞추기

나눗셈으로 높이 구하기

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