AMC 10 · 2004 · #16

학년 8 geometry-2d

equilateral-triangletangent-circlesthirty-sixty-ninety-triangle physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 각각 1인 원 세 개가 서로 바깥쪽에서 맞닿고(외접), 세 원 모두 하나의 큰 원 안에 들어가 안쪽에서 맞닿습니다(내접). 큰 원의 반지름을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

(B)

(C)

$\frac{2 + 3\sqrt{2}}{2}$

(D)

$\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 원들이 어떻게 맞닿는지에 관한 것이므로, 첫 번째 수는 도구 #1(그림 그리기)로 모든 중심을 표시하는 것입니다. 그림을 그리고 나면 접함이 깔끔한 거리 사실로 바뀝니다. 맞닿은 두 단위원의 중심은 정확히 2만큼 떨어져 있으므로, 세 작은 중심은 한 변이 2인 정삼각형을 이룹니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 삼각형에 좌표를 놓고 큰 중심의 높이를 이름 붙이며, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 조각으로 나눕니다. 먼저 큰 중심에서 작은 중심까지의 거리를 구하고, 그다음 작은 반지름 하나를 더해 큰 원의 가장자리에 도달합니다.

1STEP 1

접함을 삼각형으로 바꾸기

맞닿은 단위원 두 개의 중심은 $1+1=2$ 만큼 떨어지므로 세 중심은 한 변이 2인 정삼각형의 꼭짓점입니다.

중심 사이 거리=1+1=2 → 한 변이 2인 정삼각형

2STEP 2

삼각형에 좌표 놓기

$B=(-1,0)$ , $C=(1,0)$ 으로 놓으면 높이가 $\sqrt{3}$ 이라 $A=(0,\sqrt{3})$ , 대칭으로 큰 중심은 $O=(0,y)$ 입니다.

B=(-1,0), C=(1,0), h=√(2²-1²)=√(3), A=(0,√(3)), O=(0,y)

3STEP 3

같은 거리로 큰 중심 찾기

거리가 같다는 조건 $(\sqrt{3}-y)^2=1+y^2$ 에서 $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 이고, 공통 거리는 $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

(√(3)-y)²=1+y²→ y=1/√3, d=√(1+1/3)=2/√3=2√3/3

4STEP 4

반지름 하나만큼 가장자리로 나가기

내접이므로 작은 반지름 하나를 더해 $R=d+1$ , 즉 $\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ 입니다. 답은 (D)입니다.

R=d+1=2√3/3+3/3=(3+2√3)/3 (D)

정답

(3 + 2√(3))/3

소수로 나타내면 (3+2√(3))/3≈(3+3.46)/3≈ 2.15입니다. 이는 1보다 넉넉히 크면서도(반지름 1인 원 세 개를 담아야 하므로) 지나치게 크지 않아 그림과 맞습니다. 다른 선택지를 소수로 확인하면 (A) ≈1.48은 배치를 담기에 너무 작고, (B) =2는 살짝 작으며, (C) ≈3.12와 (E) ≈2.37은 너무 큽니다. 오직 (D) ≈2.15만 맞으므로 답은 확실합니다.

💡핵심 정리

맞닿은 원은 중심 사이 거리를 정해 주므로 세 단위원은 정삼각형을 이룹니다. 그 삼각형의 중심에서 작은 중심까지 재고 반지름 하나를 더하면 큰 원의 가장자리에 닿습니다.

접함을 삼각형으로 바꾸기
삼각형에 좌표 놓기
같은 거리로 큰 중심 찾기
반지름 하나만큼 가장자리로 나가기

접함을 삼각형으로 바꾸기

삼각형에 좌표 놓기

같은 거리로 큰 중심 찾기

반지름 하나만큼 가장자리로 나가기

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