AMC 10 · 2002 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 그림 없이는 아무것도 보이지 않으므로, 도구 #1(그림 그리기)이 먼저입니다: 여섯 점을 직선 위에 찍고 그 위에 G를 표시한 뒤 AG와 두 평행선 HC, JE를 그립니다. 그리면 도형이 서로 닮은 두 삼각형 쌍으로 나뉘므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: HC는 삼각형 GAD 안에, JE는 삼각형 GAF 안에 들어 있습니다. 삼각형의 한 변에 평행한 선분은 더 작은 닮은 삼각형을 잘라내므로, 각 미지의 길이는 공통 선분 AG의 간단한 분수가 됩니다. AG에는 숫자를 주지 않으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 기호로 들고 갑니다; 마지막에 HC/JE를 만들면 그 값이 약분되어 사라지므로 실제 길이는 전혀 상관없습니다.
그림을 그리고 거리 읽기
A부터 F를 0,1,2,3,4,5에 놓고 G는 직선 밖에 두면, 간격에서 DC=1, DA=3, FE=1, FA=5를 바로 읽습니다.
균등한 단위 간격 덕분에 거리를 재지 않고 직선에서 바로 세어 읽을 수 있습니다.
6.RP.A.1Draw A Diagram첫 번째 평행선이 닮은 삼각형을 만듦
HC ∥ AG이므로 삼각형 DHC는 DGA의 축소판이고, HC/AG=DC/DA=1/3, 즉 HC=1/3 AG입니다.
삼각형 한 변에 평행하게 자르면 축소된 복사본이 생겨, 그 길이들이 밑변 비만큼 줄어듭니다.
삼각형의 한 변과 나란한 자름은 줄어든 복사본을 만들므로, 그 길이가 밑변의 비로 줄어든다.
▸ 왜?
두 평행선을 가로지르는 직선은 같은 각을 만들므로, 작은 삼각형의 세 각이 같다.
▸ 왜?
각이 같은 삼각형은 대응하는 모든 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
두 번째 평행선이 또 다른 닮은 삼각형을 만듦
더 큰 삼각형 GAF에서 같은 방법으로 JE/AG=FE/FA=1/5, 즉 JE=1/5 AG입니다.
같은 평행-자르기 방법이 더 큰 삼각형에도 그대로 통하며, 그 자신의 밑변 비를 씁니다.
8.G.A.5Identify Subproblems두 길이를 나누기
나누면 HC/JE=(1/3 AG)/(1/5 AG)=5/3. AG가 약분되어 G의 위치는 상관없습니다. 답은 (D).
두 양이 같은 미지의 인수를 품고 있으면, 나누면 그것이 지워지고 순수한 수만 남습니다.
7.RP.A.2Introduce A Variable삼각형의 한 변에 평행하게 그은 선은 축소된 복사본을 만들어, 각 길이는 AG의 분수일 뿐입니다. 두 분수를 나누면 AG가 사라지고 5/3만 남습니다.
- 그림을 그리고 거리 읽기
- 첫 번째 평행선이 닮은 삼각형을 만듦
- 두 번째 평행선이 또 다른 닮은 삼각형을 만듦
- 두 길이를 나누기
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