AMC 10 · 2002 · #20
학년 8 geometry-2d점 A,B,C,D,E 와 F 가 이 순서대로 선분 AF 위에 놓여 있고, 이 선분을 각각 길이가 1 인 다섯 개의 선분으로 나눈다. 점 G 는 직선 AF 위에 있지 않다. 점 H 는 선분 GD 위에, 점 J 는 선분 GF 위에 있다. 세 선분 HC,JE, 와 AG 는 서로 평행하다. HC/JE 를 구하여라.
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여섯 점 $A,B,C,D,E,F$가 선분 $\overline{AF}$ 위에 순서대로 놓여 있고, $\overline{AF}$를 각각 길이 $1$인 다섯 조각으로 나눕니다. 점 $G$는 직선 $AF$ 위에 있지 않습니다. $H$는 $\overline{GD}$ 위의 점, $J$는 $\overline{GF}$ 위의 점이며, 세 선분 $\overline{HC}$, $\overline{JE}$, $\overline{AG}$가 모두 평행하도록 잡았습니다. 비 $HC/JE$를 구하세요.
주어진 것: $A,B,C,D,E,F$가 $\overline{AF}$ 위에 순서대로 있음; 다섯 조각 $AB,BC,CD,DE,EF$의 길이가 각각 $1$; $G$는 직선 $AF$ 위에 있지 않음; $H$는 $\overline{GD}$ 위에, $J$는 $\overline{GF}$ 위에 있음; $\overline{HC}\parallel\overline{JE}\parallel\overline{AG}$; 선택지: (A) $5/4$, (B) $4/3$, (C) $3/2$, (D) $5/3$, (E) $2$
구하는 것: 비 $HC/JE$
이해
문제 재정리: 여섯 점 $A,B,C,D,E,F$가 선분 $\overline{AF}$ 위에 순서대로 놓여 있고, $\overline{AF}$를 각각 길이 $1$인 다섯 조각으로 나눕니다. 점 $G$는 직선 $AF$ 위에 있지 않습니다. $H$는 $\overline{GD}$ 위의 점, $J$는 $\overline{GF}$ 위의 점이며, 세 선분 $\overline{HC}$, $\overline{JE}$, $\overline{AG}$가 모두 평행하도록 잡았습니다. 비 $HC/JE$를 구하세요.
주어진 것: $A,B,C,D,E,F$가 $\overline{AF}$ 위에 순서대로 있음; 다섯 조각 $AB,BC,CD,DE,EF$의 길이가 각각 $1$; $G$는 직선 $AF$ 위에 있지 않음; $H$는 $\overline{GD}$ 위에, $J$는 $\overline{GF}$ 위에 있음; $\overline{HC}\parallel\overline{JE}\parallel\overline{AG}$; 선택지: (A) $5/4$, (B) $4/3$, (C) $3/2$, (D) $5/3$, (E) $2$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
이 문제는 그림 없이는 아무것도 보이지 않으므로, 도구 #1(그림 그리기)이 먼저입니다: 여섯 점을 직선 위에 찍고 그 위에 $G$를 표시한 뒤 $AG$와 두 평행선 $HC$, $JE$를 그립니다. 그리면 도형이 서로 닮은 두 삼각형 쌍으로 나뉘므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: $HC$는 삼각형 $GAD$ 안에, $JE$는 삼각형 $GAF$ 안에 들어 있습니다. 삼각형의 한 변에 평행한 선분은 더 작은 닮은 삼각형을 잘라내므로, 각 미지의 길이는 공통 선분 $AG$의 간단한 분수가 됩니다. $AG$에는 숫자를 주지 않으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 기호로 들고 갑니다; 마지막에 $HC/JE$를 만들면 그 값이 약분되어 사라지므로 실제 길이는 전혀 상관없습니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.1 단계 1 그림을 그리고 거리 읽기
- 점들을 각 간격이 $1$이 되도록 직선 위에 놓습니다: $A,B,C,D,E,F$를 위치 $0,1,2,3,4,5$에 둡니다.
- $G$를 직선 밖 어딘가에 표시하고 $\overline{AG}$를 그립니다.
- $C$에서 $\overline{GD}$ 위의 $H$까지 $\overline{HC}$를, $E$에서 $\overline{GF}$ 위의 $J$까지 $\overline{JE}$를 그리는데 둘 다 $\overline{AG}$에 평행합니다.
- 이제 직선 위 거리들을 간격에서 바로 읽습니다: $D$(위치 $3$)에서 $C$(위치 $2$)까지 조각은 $DC=1$이고 $A$(위치 $0$)까지 전체는 $DA=3$; $F$(위치 $5$)에서 $E$(위치 $4$)까지 조각은 $FE=1$이고 $A$까지 전체는 $FA=5$입니다.
- 그래서 중요한 두 비는 $DC:DA=1:3$과 $FE:FA=1:5$입니다.
💡 균등한 단위 간격 덕분에 거리를 재지 않고 직선에서 바로 세어 읽을 수 있습니다.
8.G.A.5 단계 2 첫 번째 평행선이 닮은 삼각형을 만듦
- 삼각형 $GAD$를 봅니다: 꼭짓점은 $G$, $A$, $D$이고, $C$는 변 $AD$ 위에, $H$는 변 $GD$ 위에 있습니다.
- $\overline{HC}\parallel\overline{AG}$이므로 평행선이 $D$에서와 변들을 따라 같은 대응각을 만들어, 삼각형 $DHC$는 삼각형 $DGA$와 같은 모양입니다(각-각).
- 닮은 삼각형에서 대응하는 변들은 같은 비를 가지며 $HC$는 $AG$에 대응하므로, $HC/AG$는 그들이 놓인 변의 비 $DC/DA=1/3$과 같습니다.
- $AG$를 기호로 쓰면 $HC=\tfrac{1}{3}\,AG$입니다.
💡 삼각형 한 변에 평행하게 자르면 축소된 복사본이 생겨, 그 길이들이 밑변 비만큼 줄어듭니다.
8.G.A.5 단계 3 두 번째 평행선이 또 다른 닮은 삼각형을 만듦
- 더 큰 삼각형 $GAF$에서도 똑같이 합니다: 여기서 $E$는 변 $AF$ 위에, $J$는 변 $GF$ 위에 있습니다.
- $\overline{JE}\parallel\overline{AG}$이므로 삼각형 $FJE$는 삼각형 $FGA$와 같은 모양입니다(다시 평행선으로부터 각-각).
- 변 $JE$는 $AG$에 대응하므로 $JE/AG$는 밑변 비 $FE/FA=1/5$와 같습니다.
- 같은 기호 $AG$를 들고 가면 $JE=\tfrac{1}{5}\,AG$입니다.
💡 같은 평행-자르기 방법이 더 큰 삼각형에도 그대로 통하며, 그 자신의 밑변 비를 씁니다.
7.RP.A.2 단계 4 두 길이를 나누기
- 두 길이 모두 이제 같은 기호 $AG$로 쓰였으므로, 구하려는 비를 만들어 $AG$를 약분합니다: $HC/JE=\left(\tfrac{1}{3}AG\right)\big/\left(\tfrac{1}{5}AG\right)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{1}=\tfrac{5}{3}$.
- 미지의 길이 $AG$가 나눠져 사라지므로 답은 $G$의 위치에 상관없습니다.
- 비 $HC/JE=5/3$, 즉 선택지 (D)입니다.
💡 두 양이 같은 미지의 인수를 품고 있으면, 나누면 그것이 지워지고 순수한 수만 남습니다.
6.RP.A.1 점들을 각 간격이 $1$이 되도록 직선 위에 놓습니다: $A,B,C,D,E,F$를 위치 $0,1,2,3,4,5$에 둡니다. $G$를 직선 밖 어 8.G.A.5 삼각형 $GAD$를 봅니다: 꼭짓점은 $G$, $A$, $D$이고, $C$는 변 $AD$ 위에, $H$는 변 $GD$ 위에 있습니다. $\ove 8.G.A.5 더 큰 삼각형 $GAF$에서도 똑같이 합니다: 여기서 $E$는 변 $AF$ 위에, $J$는 변 $GF$ 위에 있습니다. $\overline{JE 7.RP.A.2 두 길이 모두 이제 같은 기호 $AG$로 쓰였으므로, 구하려는 비를 만들어 $AG$를 약분합니다: $HC/JE=\left(\tfrac{1}{3} 검토
합리성 확인: 두 삼각형은 꼭짓선 $AG$를 공유하고, $HC$는 밑변 비 $1/3$에서, $JE$는 $1/5$에서 나옵니다. $1/3>1/5$이므로 $HC$가 더 긴 선분이어야 하고, 따라서 $HC/JE$는 반드시 $1$보다 커야 합니다. 그 값 $5/3\approx1.67$은 정확히 $(1/3)\div(1/5)$이며, $DC=FE=1$이므로 $HC/JE=\frac{DC/DA}{FE/FA}=\frac{FA}{DA}=\frac{5}{3}$입니다. 좌표로 빠르게 확인하면, $G=(0,3)$으로 두면 $C=(2,0),D=(3,0),F=(5,0)$이고, $HC\parallel AG$(수직)인 점 $H$는 $x=2$에 있어 $H=(2,1)$, 즉 $HC=1$; 마찬가지로 $J=(4,\tfrac{3}{5})$이므로 $JE=\tfrac{3}{5}$, 그리고 $HC/JE=1/(3/5)=5/3$. 모두 일치하며 $5/3$은 선택지 (D)입니다.
대안 접근: 기호를 생략하고 $G$에 편한 위치, 예컨대 $G=(0,3)$을 잡은 뒤, 위 확인처럼 평행 조건에서 $H$와 $J$를 직접 계산합니다: $HC=1$, $JE=3/5$이므로 $HC/JE=5/3$. 두 닮은 삼각형 비가 모두 $G$와 무관하므로 어떤 $G$를 골라도 같은 $5/3$이 나오며, 그래서 좌표를 고정하는 것이 정당합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 두 양의 관계를 비의 언어로 표현하기 (균등 간격 직선에서 밑변 비 $DC:DA=1:3$과 $FE:FA=1:5$를 읽어내는 데 사용.)8.G.A.5도형의 각 관계, 특히 삼각형 닮음의 각-각 판정에 관한 사실을 비형식적 논증으로 확립하기 ($HC\parallel AG$, $JE\parallel AG$로부터 각-각에 의해 $\triangle DHC\sim\triangle DGA$, $\triangle FJE\sim\triangle FGA$를 얻는 데 사용.)7.RP.A.2양 사이의 비례 관계 인식·표현 (닮음을 비례식 $HC=\tfrac13 AG$, $JE=\tfrac15 AG$로 바꾸고 나누어 $HC/JE=5/3$을 얻는 데 사용.)
⭐ 삼각형의 한 변에 평행하게 그은 선은 축소된 복사본을 만들어, 각 길이는 $AG$의 분수일 뿐입니다. 두 분수를 나누면 $AG$가 사라지고 $5/3$만 남습니다.
⭐ 삼각형의 한 변에 평행하게 그은 선은 축소된 복사본을 만들어, 각 길이는 $AG$의 분수일 뿐입니다. 두 분수를 나누면 $AG$가 사라지고 $5/3$만 남습니다.
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