AMC 10 · 2002 · #13

학년 8 geometry-2d

area-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 $15$ , $20$ , $25$ 인 삼각형에서 가장 짧은 높이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

12.5

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 $15$, $20$, $25$인 삼각형이 있다. 세 높이(수선) 가운데 가장 짧은 것의 길이를 구하여라.

주어진 것: 세 변의 길이는 $15$, $20$, $25$이다; 높이란 한 꼭짓점에서 마주 보는 변에 수직으로 내린 선분의 길이이다; 보기: (A) $6$, (B) $12$, (C) $12.5$, (D) $13$, (E) $15$

구하는 것: 이 삼각형의 가장 짧은 높이의 길이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 $15$, $20$, $25$인 삼각형이 있다. 세 높이(수선) 가운데 가장 짧은 것의 길이를 구하여라.

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기

삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\times\text{밑변}\times\text{높이}$이고, 어느 변을 밑변으로 삼든 이 넓이는 변하지 않는다. 따라서 밑변 $s$와 그에 대응하는 높이 $h$에 대해 곱 $s\times h$는 항상 넓이의 두 배, 즉 일정한 값이다. 도구 #14(극단의 원리)는 이것을 곧바로 읽어 낸다: $s\times h$가 일정하다면 $h$를 가장 작게 만들려면 가장 긴 변 $s$에 높이를 내려야 한다. 그래서 가장 짧은 높이는 가장 긴 변에 내린 것이다. 먼저 넓이를 구하고(도구 #5가 $15,20,25$가 직각삼각형임을 알아채므로 쉽다), 넓이의 두 배를 가장 긴 변으로 나눈다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 8.G.B.6 단계 1

직각삼각형임을 알아채기

세 변이 피타고라스 관계를 만족하는지 확인한다: $15^2+20^2 = 225+400 = 625$이고 $25^2 = 625$이다.
두 짧은 변의 제곱의 합이 가장 긴 변의 제곱과 같으므로, 피타고라스 정리의 역에 따라 이 삼각형은 직각삼각형이다.
직각을 이루는 두 변(다리)은 $15$와 $20$이고 빗변은 $25$이다.
이는 $3\text{-}4\text{-}5$ 세 쌍을 $5$배 한 것이다.

$$15^2+20^2 = 225+400 = 625 = 25^2 \;\Rightarrow\; \text{직각삼각형, 다리 } 15,20,\ \text{빗변 } 25$$

💡 두 작은 제곱을 더해 가장 큰 제곱이 되면, 짧은 두 변 사이의 모서리는 완벽한 직각이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

넓이 구하기

직각삼각형에서는 두 다리가 서로 수직이므로 한 다리를 밑변, 다른 다리를 높이로 쓸 수 있다.
넓이는 $\tfrac{1}{2}\times 15\times 20 = \tfrac{1}{2}\times 300 = 150$이다.
두 다리가 $90^\circ$로 만나므로 별도의 높이 계산이 필요 없다 — 다리들이 그 일을 대신 해 준다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\times 15\times 20 = 150$$

💡 직각삼각형의 두 다리는 이미 서로 수직이므로, 추가 작업 없이 밑변과 높이 역할을 한다.

#14 극단의 원리 6.G.A.1 단계 3

가장 짧은 높이를 가장 긴 변에 맞추기

어느 변 $s$를 밑변으로 삼든 넓이 공식은 $150 = \tfrac{1}{2}\,s\,h$를 주므로 $h = \dfrac{2\times 150}{s} = \dfrac{300}{s}$이다.
분자 $300$은 결코 변하지 않으므로 $s$가 커질수록 $h$는 작아진다.
가장 긴 변은 빗변 $25$이므로, 그에 내린 높이가 세 높이 중 가장 짧다.

$$h = \dfrac{300}{s}; \quad s \text{가 클수록} \Rightarrow h \text{는 작아짐}; \quad s_{\max}=25$$

💡 밑변 곱하기 높이가 일정하므로, 밑변을 최대한 길게 늘이면 높이는 가장 작게 눌린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.2 단계 4

나눗셈으로 높이 구하기

가장 긴 변을 공식에 넣는다: $h = \dfrac{300}{25} = 12$.
따라서 가장 짧은 높이의 길이는 $12$이고, 이는 보기 (B)이다.

$$h = \dfrac{300}{25} = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 넓이의 두 배를 고른 밑변으로 나누면 그 밑변에 대한 높이가 정확히 나온다.

[1] #5 8.G.B.6 세 변이 피타고라스 관계를 만족하는지 확인한다: $15^2+20^2 = 225+400 = 625$이고 $25^2 = 625$이다. 두 짧은 변의

[2] #7 6.G.A.1 직각삼각형에서는 두 다리가 서로 수직이므로 한 다리를 밑변, 다른 다리를 높이로 쓸 수 있다. 넓이는 $\tfrac{1}{2}\times 15\

[3] #14 6.G.A.1 어느 변 $s$를 밑변으로 삼든 넓이 공식은 $150 = \tfrac{1}{2}\,s\,h$를 주므로 $h = \dfrac{2\times 150

[4] #7 6.NS.B.2 가장 긴 변을 공식에 넣는다: $h = \dfrac{300}{25} = 12$. 따라서 가장 짧은 높이의 길이는 $12$이고, 이는 보기 (B)

검토

합리성 확인: 가장 작은 높이를 제대로 찾았는지 세 높이를 모두 계산해 확인한다: 변 $15$에는 $h=\tfrac{300}{15}=20$, 변 $20$에는 $h=\tfrac{300}{20}=15$, 변 $25$에는 $h=\tfrac{300}{25}=12$이다. 세 높이는 $20, 15, 12$이고 $12$가 가장 작으므로 보기 (B)와 일치한다. 또한 빗변에 내린 높이($12$)가 두 다리($15$와 $20$)보다 짧은 것도 자연스럽다. 다리 자체가 다른 다리에 대한 높이이기 때문이다. 보기 (E) $15$는 빗변이 아니라 다리에서 멈춘 사람을 위한 함정이다.

대안 접근: 직각삼각형의 빗변에 대한 높이(기하평균) 관계를 이용해도 된다: 빗변에 내린 높이는 두 다리의 곱을 빗변으로 나눈 값과 같으므로 $h = \dfrac{15\times 20}{25} = \dfrac{300}{25} = 12$이다. 넓이를 따로 구하지 않고도 같은 답 (B)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.6 Explain a proof of the Pythagorean theorem and its converse (역($15^2+20^2=25^2$)을 이용해 다리 $15,20$, 빗변 $25$의 직각삼각형임을 확인하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (넓이 $\tfrac{1}{2}\times15\times20=150$을 구하고 $\text{넓이}=\tfrac{1}{2}sh$를 $h=\tfrac{300}{s}$로 변형하는 데 사용.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm ($\tfrac{300}{25}=12$을 계산하는 데 사용(확인값 $300/15=20$, $300/20=15$ 포함).)

⭐ 밑변 곱하기 높이는 넓이의 두 배로 일정하므로, 가장 짧은 높이는 언제나 가장 긴 변에 내려간다 — 넓이를 구한 뒤 가장 긴 변으로 나누면 된다.