AMC 10 · 2002 · #14
학년 6 number-theory이차방정식 x2−63x+k=0 의 두 근이 모두 소수이다. k 가 될 수 있는 값의 개수는
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이차방정식 $x^2 - 63x + k = 0$ 의 두 근이 모두 소수입니다. 이런 일이 가능하도록 만드는 $k$ 의 값이 몇 개인지 세어 보세요.
주어진 것: 방정식 $x^2 - 63x + k = 0$; 두 근이 모두 소수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $4$보다 많음
구하는 것: 가능한 $k$ 의 값이 몇 개인가
이해
문제 재정리: 이차방정식 $x^2 - 63x + k = 0$ 의 두 근이 모두 소수입니다. 이런 일이 가능하도록 만드는 $k$ 의 값이 몇 개인지 세어 보세요.
주어진 것: 방정식 $x^2 - 63x + k = 0$; 두 근이 모두 소수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $4$보다 많음
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기
두 근을 $p$ 와 $q$ 로 이름 붙입니다 (도구 #4). 최고차항의 계수가 $1$인 이차식은 $x^2-63x+k=(x-p)(x-q)$ 로 인수분해되고, 이를 전개하면 $p+q=63$, $pq=k$ 임을 알 수 있습니다. 그러면 문제는 '합이 $63$이 되는 소수 쌍은 무엇인가'로 바뀝니다. 여기서 핵심은 도구 #3 (가능성 지우기)의 홀짝 논리입니다. $63$은 홀수인데, 홀수 두 개를 더하면 항상 짝수가 되므로, 한 근은 유일한 짝수 소수인 $2$ 로 정해집니다. 그러면 다른 근은 $63-2=61$ 로 고정되고, 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 $61$이 소수임을 확인하기만 하면 됩니다. 살아남는 각 쌍이 $k$ 하나를 주므로, 쌍의 개수가 곧 $k$ 값의 개수입니다.
실행 — 정답: B
6.EE.A.3 단계 1 근에 이름을 붙여 합과 곱 읽어내기
- 두 근을 $p$ 와 $q$ 라고 합시다.
- 최고차항의 계수가 $1$인 이차식은 근으로부터 $(x-p)(x-q)$ 로 쓸 수 있습니다.
- 전개하면 $(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq$ 입니다.
- 이것을 $x^2-63x+k$ 와 항끼리 비교하면 $p+q=63$, $pq=k$ 를 얻습니다.
- 즉 두 소수 근은 합이 $63$이어야 하고, 그 곱이 바로 $k$ 의 값입니다.
💡 근으로부터 이차식을 되짚어 세우면 계수에서 합과 곱을 바로 읽을 수 있다.
2.OA.C.3 단계 2 홀짝으로 한 근을 2로 확정하기
- 두 소수 근의 합은 홀수인 $63$ 이어야 합니다.
- $2$를 뺀 모든 소수는 홀수이고, 홀수와 홀수를 더하면 항상 짝수가 됩니다.
- 그러므로 홀수 소수 두 개는 짝수 합만 만들 수 있어 절대 $63$이 될 수 없습니다.
- 홀수 합을 만드는 유일한 방법은 한 근이 짝수인 경우이고, 짝수 소수는 오직 $2$ 뿐입니다.
- 따라서 한 근은 반드시 $2$ 여야 합니다.
💡 홀수 합은 홀수 두 개로는 못 만드니, 짝수 소수 $2$가 반드시 끼어야 한다.
4.OA.B.4 단계 3 다른 근을 찾고 소수인지 확인하기
- 한 근이 $2$이면 다른 근은 $63-2=61$ 이어야 합니다.
- 이제 $61$이 소수인지 확인합니다.
- $61$은 $2$, $3$, $5$, $7$로 나누어떨어지지 않고, $7^2=49$이며 $8^2=64>61$이므로 $7$까지의 소수만 확인하면 충분합니다.
- 어느 것도 나누지 못하므로 $61$은 소수입니다.
- 따라서 근 $2$와 $61$은 둘 다 소수이며, 이것이 조건을 만족하는 유일한 쌍입니다.
💡 제곱근 이하의 소수들만 나누어 보면 소수인지 판정할 수 있다.
4.OA.B.4 단계 4 k의 값 개수 세기
- 유일한 소수 쌍은 $2$와 $61$ 이고, 이때 $k=pq=2\times 61=122$ 입니다.
- 이런 $k$ 값은 정확히 하나뿐입니다.
- 따라서 가능한 $k$ 값의 개수는 $1$ 이고, 이는 선택지 (B) 입니다.
💡 유효한 근의 쌍이 하나면 곱도 하나, 곧 $k$ 값도 하나다.
6.EE.A.3 두 근을 $p$ 와 $q$ 라고 합시다. 최고차항의 계수가 $1$인 이차식은 근으로부터 $(x-p)(x-q)$ 로 쓸 수 있습니다. 전개하면 $ 2.OA.C.3 두 소수 근의 합은 홀수인 $63$ 이어야 합니다. $2$를 뺀 모든 소수는 홀수이고, 홀수와 홀수를 더하면 항상 짝수가 됩니다. 그러므로 홀수 4.OA.B.4 한 근이 $2$이면 다른 근은 $63-2=61$ 이어야 합니다. 이제 $61$이 소수인지 확인합니다. $61$은 $2$, $3$, $5$, $7 4.OA.B.4 유일한 소수 쌍은 $2$와 $61$ 이고, 이때 $k=pq=2\times 61=122$ 입니다. 이런 $k$ 값은 정확히 하나뿐입니다. 따라서 검토
합리성 확인: 쌍을 직접 확인해 봅시다. $2+61=63$ 이고 $2\times 61=122$ 이므로 $x^2-63x+122=(x-2)(x-61)$ 은 실제로 소수 근 $2$와 $61$ 을 가집니다. 홀짝 논리가 다른 모든 쌍을 배제하는데, 다른 소수 쌍은 홀수 소수 두 개라서 합이 짝수가 되어 절대 $63$이 될 수 없기 때문입니다. 그래서 오직 $k=122$ 하나만 성립하며, 이는 선택지 (B) 와 일치합니다. 선택지 (A) $0$ 은 $2$가 소수라는 사실을 잊고 홀수 합 쌍이 없다고 결론짓는 함정이고, 선택지 (E) 는 $(2,61)$ 과 $(61,2)$ 를 다른 것으로 세는 함정이지만 근을 바꿔도 $k$ 는 같습니다.
대안 접근: 비에타를 건너뛰고 $63$을 골드바흐식 탐색의 목표로 봅니다. $63$보다 작은 소수들을 나열하고, 그중 합이 $63$이 되는 소수 짝이 있는지 묻습니다. $63$이 홀수이므로 홀수 소수와 짝을 이룰 수 있는 것은 $2$ 뿐이고, $63-2=61$ 은 소수이므로 $\{2,61\}$ 이 유일한 쌍입니다. 다른 후보들 (예: $63-4$, $63-6$)은 소수가 아닌 수에서 시작합니다. 결론은 같습니다. 값은 하나, $k=122$, 선택지 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq$ 를 전개하여 $p+q=63$, $pq=k$ 를 읽어내는 데 사용.)2.OA.C.3Determine whether a group of objects has an odd or even number (홀수 + 홀수 = 짝수라는 홀짝 논리로 한 근을 짝수 소수 $2$ 로 확정하는 데 사용.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($61$이 소수임을 확인하고 $\{2,61\}$ 이 유일한 소수 쌍임을 확정하여 $k$ 가 하나뿐임을 보이는 데 사용.)
⭐ 두 소수의 합이 홀수가 되려면 하나가 반드시 2여야 하므로, 63처럼 홀수인 목표에는 소수 쌍이 딱 하나 — 그래서 k 값도 하나만 남는다.
⭐ 두 소수의 합이 홀수가 되려면 하나가 반드시 2여야 하므로, 63처럼 홀수인 목표에는 소수 쌍이 딱 하나 — 그래서 k 값도 하나만 남는다.
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