AMC 10 · 2002 · #14

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
vieta-formulasprime-numbersparity casework ↑ 선수 지식: prime-numbersvieta-formulas
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
이차방정식 x² - 63x + k = 0의 두 근이 모두 소수입니다. 이런 일이 가능하도록 만드는 k의 값이 몇 개인지 세어 보세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
4
(E)
more than 4

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 근을 p 와 q 로 이름 붙입니다 (도구 #4). 최고차항의 계수가 1인 이차식은 x²-63x+k=(x-p)(x-q)로 인수분해되고, 이를 전개하면 p+q=63, pq=k 임을 알 수 있습니다. 그러면 문제는 '합이 63이 되는 소수 쌍은 무엇인가'로 바뀝니다. 여기서 핵심은 도구 #3 (가능성 지우기)의 홀짝 논리입니다. 63은 홀수인데, 홀수 두 개를 더하면 항상 짝수가 되므로, 한 근은 유일한 짝수 소수인 2로 정해집니다. 그러면 다른 근은 63-2=61로 고정되고, 도구 #6 (추측하고 확인하기)으로 61이 소수임을 확인하기만 하면 됩니다. 살아남는 각 쌍이 k 하나를 주므로, 쌍의 개수가 곧 k 값의 개수입니다.

1STEP 1

근에 이름을 붙여 합과 곱 읽어내기

두 근을 p와 q라 하면 (x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq이므로, 항끼리 비교하면 p+q=63, pq=k입니다.

x²-63x+k=(x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq → p+q=63, pq=k
2STEP 2

홀짝으로 한 근을 2로 확정하기

63은 홀수이고 홀수끼리 더하면 짝수이므로 한 근은 짝수여야 하는데, 짝수 소수는 2뿐입니다.

홀수+홀수=짝수 ≠ 63 → 한 근은 짝수 → 그 근 = 2
3STEP 3

다른 근을 찾고 소수인지 확인하기

63-2=61이므로 다른 근은 61인데, 7 이하 어떤 소수로도 나눠지지 않고 8²=64가 이미 넘으므로 소수입니다.

63-2=61; 61 ÷ 2,3,5,7 모두 나머지 있음, 8²=64 ＞ 61 → 61은 소수
4STEP 4

k의 값 개수 세기

소수 쌍은 2와 61뿐이므로 k=2×61=122, 즉 가능한 k 값은 정확히 하나이고 답은 (B)입니다.

k=2 × 61=122 → 정확히 1 개 → (B)
정답
1
쌍을 직접 확인해 봅시다. 2+61=63이고 2 × 61=122이므로 x²-63x+122=(x-2)(x-61)은 실제로 소수 근 2와 61을 가집니다. 홀짝 논리가 다른 모든 쌍을 배제하는데, 다른 소수 쌍은 홀수 소수 두 개라서 합이 짝수가 되어 절대 63이 될 수 없기 때문입니다. 그래서 오직 k=122 하나만 성립하며, 이는 선택지 (B)와 일치합니다. 선택지 (A) 0은 2가 소수라는 사실을 잊고 홀수 합 쌍이 없다고 결론짓는 함정이고, 선택지 (E)는 (2,61)과 (61,2)를 다른 것으로 세는 함정이지만 근을 바꿔도 k는 같습니다.
💡핵심 정리

두 소수의 합이 홀수가 되려면 하나가 반드시 2여야 하므로, 63처럼 홀수인 목표에는 소수 쌍이 딱 하나 — 그래서 k 값도 하나만 남는다.

  • 근에 이름을 붙여 합과 곱 읽어내기
  • 홀짝으로 한 근을 2로 확정하기
  • 다른 근을 찾고 소수인지 확인하기
  • k의 값 개수 세기

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