AMC 10 · 2002 · #21

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangeoptimization extremal-construction ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

여덟 개의 정수로 이루어진 모임의 평균, 중앙값, 유일한 최빈값, 그리고 범위가 모두 $8$ 이다. 이 모임의 원소가 될 수 있는 가장 큰 정수는

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여덟 개의 정수로 이루어진 모음이 있고, 이 모음의 평균, 중앙값, 유일한 최빈값, 범위가 모두 $8$이다. 이 모음에 들어갈 수 있는 가장 큰 정수의 값을 구하여라.

주어진 것: 모음에는 정수가 정확히 여덟 개 있다; 여덟 정수의 평균은 $8$이다; 여덟 정수의 중앙값은 $8$이다; 유일한 최빈값은 $8$이다 (값 $8$이 다른 어떤 값보다 더 자주 나타난다); 범위(가장 큰 값 빼기 가장 작은 값)는 $8$이다; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: 모음에서 가장 큰 정수가 가질 수 있는 최댓값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기

문제는 한 수가 가질 수 있는 최댓값을 묻는데, 이것이 바로 도구 #14(극단의 원리)가 쓰이는 상황이다. 한 수를 최대로 밀어 올리려면, 규칙이 허락하는 한 나머지 수들을 모두 가장 작은 값으로 내려야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그림을 고정한다 — 가장 큰 수를 $L$이라 하면 범위로부터 가장 작은 수는 $L-8$이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 마무리를 맡는다. 합이 $64$로 고정된 상태에서 상위 선택지들을 시험해 유효한 모음을 만들거나 불가능함을 보이면 된다. 최빈값 조건이 제동을 건다 — $8$이 다른 무엇보다 더 많이 나타나야 하므로 작은 수들이 전부 아주 작아질 수는 없다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 1

네 가지 단서를 수의 사실로 바꾸기

각 단서를 여덟 수에 대한 사실로 읽는다.
수가 $8$개이고 평균이 $8$이면 총합은 $8\times 8=64$이다.
중앙값이 $8$이면 가운데 두 수(정렬했을 때 4번째와 5번째)의 평균이 $8$이다.
유일한 최빈값이 $8$이면 $8$이 다른 어떤 값보다 더 많이 나타난다.
범위가 $8$이면 가장 큰 수에서 가장 작은 수를 뺀 값이 $8$이다.

$$\text{합}=8\times 8=64,\quad \text{가장 큰 수}-\text{가장 작은 수}=8$$

💡 평균·최빈값·범위라는 말은 결국 여덟 수에 대한 단순한 진술이므로, 풀어 쓰면 퍼즐이 산수가 된다.

#14 극단의 원리 6.SP.A.2 단계 2

가장 큰 수를 최대한 높이 겨냥하기

여덟 수의 합이 $64$인 채로 가장 큰 수를 최대한 크게 하려면, 나머지 수들은 규칙이 허락하는 한 작아야 한다.
가장 큰 수를 $L$이라 하자.
그러면 범위 조건이 가장 작은 수를 $L-8$로 고정한다.
따라서 모든 수는 $L-8$과 $L$ 사이에 놓인다.

$$\text{가장 큰 수}=L,\quad \text{가장 작은 수}=L-8$$

💡 합이 고정된 것은 예산이 고정된 것과 같아서, 다른 수에 덜 쓸수록 크게 만들고 싶은 수에 더 많은 여유가 남는다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 3

가장 큰 선택지 15 시험하기

가장 큰 수가 $15$라고 하자.
그러면 가장 작은 수는 $15-8=7$이므로 여덟 수는 모두 $7$과 $15$ 사이에 있다.
$15$를 빼면 나머지 일곱 수의 합은 $64-15=49$이다.
그런데 그 일곱 수는 각각 적어도 $7$이고 $7\times 7=49$로 딱 맞는다.
그래서 일곱 수가 모두 $7$이 되어야 하고, 모음은 $7,7,7,7,7,7,7,15$가 된다.
이제 최빈값은 $7$, 중앙값도 $7$로 $8$이 아니다.
따라서 $15$는 단서를 깨뜨리므로 불가능하다.

$$49=7\times 7\Rightarrow \text{일곱 개의 } 7\Rightarrow \text{최빈값}=7\neq 8$$

💡 각각 적어도 $7$인 일곱 수가 정확히 $49$가 되어야 하면 여유가 전혀 없으므로 모두 $7$에 못 박힌다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 4

가장 큰 수가 14인 모음 만들기

이번엔 가장 큰 값을 $14$로 해 보자.
그러면 가장 작은 수는 $14-8=6$이다.
$8$이 유일한 최빈값이 되도록 $8$을 가장 많이 넣는다 — $8$을 네 개 쓴다.
나머지는 $6$ 세 개와 $14$로 채우면 모음은 $6,6,6,8,8,8,8,14$가 된다.
모든 단서를 확인한다: 합은 $6+6+6+8+8+8+8+14=64$이므로 평균은 $8$; 4번째와 5번째 수가 모두 $8$이므로 중앙값은 $8$; $8$은 네 번, $6$은 세 번만 나타나므로 유일한 최빈값은 $8$; 그리고 $14-6=8$이 범위이다.
모든 조건이 성립한다.

$$6,6,6,8,8,8,8,14:\ \text{합}=64,\ \text{중앙값}=8,\ \text{최빈값}=8,\ \text{범위}=8$$

💡 $8$을 잔뜩 넣어 최빈값을 확보하고 나머지는 규칙상 가장 작은 값을 쓰면, 총합에서 정확히 $14$를 만들 만큼이 남는다.

#14 극단의 원리 6.SP.B.5 단계 5

비교하고 결론짓기

가장 큰 값 $15$는 불가능함을 보였고, 가장 큰 값 $14$는 실제로 만들어져 모든 확인을 통과했다.
$14$는 되고 그보다 큰 값은 안 되므로, 모음에 들어갈 수 있는 가장 큰 정수는 $14$, 즉 선택지 (D)이다.

$$15\text{ 불가능},\ 14\text{ 가능}\ \Rightarrow\ \textbf{(D) } 14$$

💡 최댓값은 어떤 규칙도 깨지 않고 실제로 만들 수 있는 가장 큰 값이다.

[1] #4 6.SP.B.5 각 단서를 여덟 수에 대한 사실로 읽는다. 수가 $8$개이고 평균이 $8$이면 총합은 $8\times 8=64$이다. 중앙값이 $8$이면 가운데

[2] #14 6.SP.A.2 여덟 수의 합이 $64$인 채로 가장 큰 수를 최대한 크게 하려면, 나머지 수들은 규칙이 허락하는 한 작아야 한다. 가장 큰 수를 $L$이라 하

[3] #6 6.EE.B.5 가장 큰 수가 $15$라고 하자. 그러면 가장 작은 수는 $15-8=7$이므로 여덟 수는 모두 $7$과 $15$ 사이에 있다. $15$를 빼면

[4] #6 6.SP.B.5 이번엔 가장 큰 값을 $14$로 해 보자. 그러면 가장 작은 수는 $14-8=6$이다. $8$이 유일한 최빈값이 되도록 $8$을 가장 많이 넣는

[5] #14 6.SP.B.5 가장 큰 값 $15$는 불가능함을 보였고, 가장 큰 값 $14$는 실제로 만들어져 모든 확인을 통과했다. $14$는 되고 그보다 큰 값은 안 되

검토

합리성 확인: 모음 $6,6,6,8,8,8,8,14$는 네 조건을 모두 만족하는 구체적인 예이므로 $14$는 분명히 달성 가능하다. 그리고 $15$는 깔끔하게 배제되었다 — 가장 큰 수를 뺀 일곱 수가 각각 적어도 $7$이면서 합이 겨우 $49$가 되려면 모두 $7$이어야 하고, 그러면 최빈값과 중앙값이 둘 다 무너진다. 따라서 $14$는 도달 가능하면서 동시에 상한이다 — 최댓값 문제의 답이 살아남는 가장 위쪽 선택지에 놓이는 것은 자연스럽다.

대안 접근: 선택지를 시험하는 대신 부등식을 세울 수도 있다. 가장 큰 수를 $L$이라 하고 중앙값을 위해 가운데에 $8$을 두 개 둔다. 최빈값을 $8$로 유지하고 가장 작은 수를 $L-8$로 두면, 가장 작은 네 값은 적어도 $L-8$이다. 총합이 $64$임을 쓰고 작은 수들을 최솟값에 붙들어 두면 $4(L-8)+2\cdot 8+ \ldots \le 64$가 되어 $L$이 $14$로 제한된다. 그다음 $6,6,6,8,8,8,8,14$를 만들면 그 상한이 실제로 달성됨을 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (평균, 중앙값, 유일한 최빈값, 범위를 여덟 수에 대한 사실로 읽고, 모음 $6,6,6,8,8,8,8,14$가 네 조건을 모두 만족함을 확인하는 데 사용.)
6.SP.A.2 Understand that a set of data collected has a distribution with center and spread (퍼짐의 척도인 범위를 이용해 가장 작은 수를 가장 큰 수에 연결하여, 가장 큰 수를 밀어 올리는 설정을 이끄는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (각각 적어도 $7$이고 합이 정확히 $49$인 일곱 수는 모두 $7$이어야 함을 논증하여 가장 큰 값 $15$를 배제하는 데 사용.)

⭐ 합이 고정된 상태에서 한 수를 최대한 크게 만들려면, 규칙이 허락하는 한 나머지 수를 전부 가장 작게 눌러라 — 그런 다음 가장 큰 선택지가 실제로 만들어지는지 확인하라.