AMC 10 · 2002 · #6
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
숫자를 끝없이 대입한다고 해서 '없음', '하나', '무한히 많음' 같은 개수를 증명할 수는 없으니, 단순 대입만으로는 부족하다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)가 열쇠를 준다: 이 이차식은 (n-1)(n-2)로 인수분해되어, '이것이 소수인가?' 라는 물음을 두 정수의 곱에 관한 물음으로 바꾼다. 소수는 두 자연수의 곱으로 나타날 때 그중 하나가 반드시 1 이어야 하므로, 살펴볼 경우가 몇 가지로 확 줄어든다. 그다음 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 그 몇 개의 n 값만 확인하고, 도구 #3 (가능성 지우기)로 최종 개수를 다섯 선택지와 맞춘다.
식을 인수분해하기
곱하면 2, 더하면 -3이 되는 두 수는 -1과 -2이므로 n² - 3n + 2 = (n-1)(n-2)이다.
이차식을 곱으로 다시 쓰면 어려운 '소수인가?' 물음이 두 인수에 관한 물음으로 바뀐다.
6.EE.A.3Identify Subproblems곱이 소수가 되는 조건 묻기
소수는 1과 자기 자신의 곱뿐이므로 더 작은 인수 n-2가 1이어야 한다. 둘 다 1을 넘으면 곱은 합성수다.
소수는 둘 다 1 보다 큰 두 인수로 쪼갤 수 없으므로, 한 인수는 1로 고정된다.
소수는 둘 다 1보다 큰 두 인수로 갈라질 수 없으므로, 한 인수가 1로 고정된다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 한 인수를 정하면 다른 인수도 정해진다.
작은 경우 확인하기
n = 1과 n = 2는 모두 0이고, n = 3은 2 · 1 = 2로 소수다 — 바로 n-2 = 1인 경우다.
양의 정수에서 인수가 1이 되는 곳은 n=3 뿐이고, 그때 소수 2가 나온다.
6.EE.A.2Guess And Check더 큰 n 을 모두 제외하고 세기
n ≥ 4면 두 인수가 모두 2 이상이라 곱은 합성수이므로, 통하는 값은 n = 3뿐 — 답은 (B)이다.
두 인수가 모두 1을 넘는 순간 곱은 늘 더 쪼개지므로, 큰 n 은 결코 소수가 될 수 없다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities(n-1)(n-2)로 인수분해하자: 곱이 소수가 되려면 한 조각이 1 이어야 하고, 그런 양의 정수는 n=3 하나뿐이라 소수 2가 나온다.
- 식을 인수분해하기
- 곱이 소수가 되는 조건 묻기
- 작은 경우 확인하기
- 더 큰 n 을 모두 제외하고 세기