AMC 10 · 2002 · #15
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
실제 소수 네 개를 찾아 헤매고 싶어지지만, 그것은 느리고 필요하지도 않다. 도구 #16 (관점 바꾸기)은 문제가 진짜 무엇을 묻는지 보라고 한다: 오직 합이며, 두 자리 수 네 개의 합은 10×(십의 자리 숫자들의 합) + (일의 자리 숫자들의 합)이다. 그래서 어떤 네 숫자가 일의 자리에 오는지만 알면 합은 정해진다. 그 숫자들을 찾기 위해 도구 #3 (가능성 지우기)으로 소수의 끝자리가 될 수 없는 숫자를 지운다: 두 자리 소수는 짝수도 아니고 5로 끝나지도 않는다. 이렇게 하면 여덟 숫자가 십의 자리 무리와 일의 자리 무리로 갈린다. 그다음 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 쉬운 두 개의 부분 합을 더해 마무리한다.
어떤 숫자가 소수의 끝에 올 수 있나
두 자리 소수는 짝수도 아니고 5로 끝나지도 않으니 일의 자리는 1, 3, 7, 9 중 하나다.
짝수나 5로 끝나는 두 자리 수는 이미 2 또는 5를 인수로 가지므로 결코 소수가 될 수 없다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities십의 자리 무리와 일의 자리 무리를 확정
일의 자리에 올 수 있는 숫자가 딱 넷뿐이라, 남은 2, 4, 5, 6은 십의 자리로 밀려난다.
일의 자리 네 칸에 올 수 있는 숫자가 정확히 네 개뿐이라, 나머지 네 숫자는 십의 자리 칸으로 밀려나고 자릿값이 합을 미리 확정한다.
일의 자릿수가 정해지면 남은 숫자가 십의 자리로 밀리고, 나머지는 자릿값이 해 준다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 각 숫자가 알려진 배수를 보탠다.
▸ 왜?
작은 소수에 대해서는 마지막 자릿수가 소수 여부를 정하며, 그것이 그 나눔을 강제한다.
두 자릿값 무리를 더하기
합 = 10 × (2+4+5+6) + (1+3+7+9) = 170 + 20 = 190, 즉 선택지 (E)다.
십의 자리끼리, 일의 자리끼리 모으면 네 개의 두 자리 덧셈이 한 번의 십 배 곱하기와 한 번의 작은 덧셈으로 바뀐다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems소수를 찾을 필요가 전혀 없다: 짝수와 5는 소수의 끝에 올 수 없으니 1,3,7,9가 일의 자리, 2,4,5,6이 십의 자리이고, 합은 10 × 17 + 20 = 190이다.
- 어떤 숫자가 소수의 끝에 올 수 있나
- 십의 자리 무리와 일의 자리 무리를 확정
- 두 자릿값 무리를 더하기