AMC 10 · 2003 · #14

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-numbersdigit-decompositionoptimization extremal-constructionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbers

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 자리 수 d와 e를 골라서 d, e, 그리고 두 자리 수 10d+e가 모두 소수이면서 서로 다르게 만든다. 이런 모든 선택 중에서 곱 n = d · e · (10d+e)가 가장 커지는 경우를 찾고, 그 n의 각 자리 숫자를 더한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제가 가장 큰 곱을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 탐색을 이끈다. 가장 큰 인수를 한계까지 밀어붙이는 것이다. 곱 n = d · e · (10d+e)는 두 자리 인수 10d+e에 의해 좌우되고, 그 인수는 십의 자리 d를 가능한 한 크게 할 때 가장 빠르게 커진다. d와 e는 한 자리 소수만 될 수 있으므로 도구 #3(가능성 지우기)이 탐색 범위를 네 수 2,3,5,7로 줄이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 10d+e가 소수가 될 때까지 각 후보의 일의 자리를 점검한다. 이렇게 하면 막연한 '가장 큰' 질문이 몇 가지 경우만 확인하는 문제로 바뀐다.

1STEP 1

한 자리 소수를 나열한다

한 자리 소수는 2, 3, 5, 7뿐이므로 d와 e는 모두 {2,3,5,7}에서 나오고 서로 달라야 한다.

d, e ∈ {2,3,5,7}, d ≠ e

2STEP 2

십의 자리를 가능한 한 크게 만든다

n은 가장 큰 인수 10d+e가 좌우하고 그것은 십의 자리가 클수록 빨리 커지므로 먼저 d = 7을 시도한다.

d = 7 → 10d+e = 70+e

3STEP 3

70+e가 소수가 되는 e를 찾는다

d = 7이면 e는 2, 3, 5 중 하나인데 72와 75는 합성수이고 70+3 = 73만 소수이므로 e = 3이다.

72 = 8 · 9, 75 = 3 · 25, 73 은 소수 → e = 3

4STEP 4

n을 곱한 뒤 각 자리 숫자를 더한다

더 작은 d는 이를 넘어설 수 없으니 n = 7 · 3 · 73 = 1533이고 각 자리 합은 1+5+3+3 = 12, 즉 (A)이다.

n = 7 · 3 · 73 = 1533, 1+5+3+3 = 12 → (A)

정답

d=7, e=3이라는 선택은 가장 큰 한 자리 소수를 십의 자리로 쓰므로 그 두 자리 인수 73은 조건을 만족하는 형태 중 가장 크다. 다른 출발(d=5는 최대 53, d=3은 최대 37, d=2는 최대 23)은 모두 더 작은 최상위 인수를 주므로 더 작은 곱이 된다. 따라서 n=1533이 진짜 최댓값이다. 그 자리 숫자 합 12는 선택지 중 하나로 (A)와 일치하며, 더 작은 d의 곱은 다른 자리 숫자 합을 주므로 답이 모호하지 않다.

💡핵심 정리

곱을 가장 크게 하려면 두 자리 소수를 가장 크게 만들면 된다. 십의 자리를 가장 큰 한 자리 소수 7로 시작해 소수를 유지하는 일의 자리 하나(73)를 찾으면 7 · 3 · 73 = 1533이고 자리 숫자 합은 12이다.

한 자리 소수를 나열한다
십의 자리를 가능한 한 크게 만든다
70+e가 소수가 되는 e를 찾는다
n을 곱한 뒤 각 자리 숫자를 더한다

한 자리 소수를 나열한다

십의 자리를 가능한 한 크게 만든다

70+e가 소수가 되는 e를 찾는다

n을 곱한 뒤 각 자리 숫자를 더한다

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