AMC 10 · 2003 · #14
학년 4 number-theoryn을 서로 다른 세 소수 d, e, 10d+e의 곱으로 나타낼 수 있는 가장 큰 정수라 하자. 여기서 d와 e는 한 자리 수이다. 이때 n의 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 자리 수 $d$와 $e$를 골라서 $d$, $e$, 그리고 두 자리 수 $10d+e$가 모두 소수이면서 서로 다르게 만든다. 이런 모든 선택 중에서 곱 $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$가 가장 커지는 경우를 찾고, 그 $n$의 각 자리 숫자를 더한다.
주어진 것: $d$와 $e$는 한 자리 수이다.; $d$, $e$, 그리고 $10d+e$는 각각 소수여야 한다.; 세 소수 $d$, $e$, $10d+e$는 서로 달라야 한다.; $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$이고, $n$은 가능한 가장 큰 값이어야 한다.; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $24$.
구하는 것: $n$을 가장 크게 만드는 숫자 $d$와 $e$.; 가능한 가장 큰 $n$의 각 자리 숫자의 합.
이해
문제 재정리: 한 자리 수 $d$와 $e$를 골라서 $d$, $e$, 그리고 두 자리 수 $10d+e$가 모두 소수이면서 서로 다르게 만든다. 이런 모든 선택 중에서 곱 $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$가 가장 커지는 경우를 찾고, 그 $n$의 각 자리 숫자를 더한다.
주어진 것: $d$와 $e$는 한 자리 수이다.; $d$, $e$, 그리고 $10d+e$는 각각 소수여야 한다.; 세 소수 $d$, $e$, $10d+e$는 서로 달라야 한다.; $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$이고, $n$은 가능한 가장 큰 값이어야 한다.; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $24$.
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기
문제가 가장 큰 곱을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 탐색을 이끈다. 가장 큰 인수를 한계까지 밀어붙이는 것이다. 곱 $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$는 두 자리 인수 $10d+e$에 의해 좌우되고, 그 인수는 십의 자리 $d$를 가능한 한 크게 할 때 가장 빠르게 커진다. $d$와 $e$는 한 자리 소수만 될 수 있으므로 도구 #3(가능성 지우기)이 탐색 범위를 네 수 $2,3,5,7$로 줄이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 $10d+e$가 소수가 될 때까지 각 후보의 일의 자리를 점검한다. 이렇게 하면 막연한 '가장 큰' 질문이 몇 가지 경우만 확인하는 문제로 바뀐다.
실행 — 정답: A
4.OA.B.4 단계 1 한 자리 소수를 나열한다
- $d$와 $e$는 모두 소수이면서 한 자리 수여야 한다.
- 한 자리 소수는 정확히 $2$, $3$, $5$, $7$뿐이다 — 다른 한 자리 수는 소수가 아니다($1$은 소수가 아니고, $4,6,8,9$는 합성수이다).
- 따라서 모든 가능한 $d$와 $e$는 $\{2,3,5,7\}$에서 나오며, 서로 달라야 한다.
💡 한 자리 수 중 소수는 넷뿐이므로 문제 전체가 네 개의 수 안에서만 벌어진다.
4.OA.B.4 단계 2 십의 자리를 가능한 한 크게 만든다
- 곱 $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$는 가장 큰 인수 $10d+e$가 클 때 가장 크고, $10d+e$는 십의 자리 $d$를 될 수 있는 한 크게 할 때 가장 빠르게 커진다.
- 가장 큰 한 자리 소수는 $7$이므로 먼저 $d = 7$을 시도한다.
- 모든 쌍을 무작정 확인하는 대신 곧장 최댓값을 겨냥하는 것이다.
💡 십의 자리가 크면 두 자리 인수가 십 단위로 뛰어오르므로 탐색을 맨 위에서 시작한다.
4.OA.B.4 단계 3 70+e가 소수가 되는 e를 찾는다
- $d = 7$일 때 일의 자리 $e$는 $7$과 다른 한 자리 소수여야 하므로 $e \in \{2,3,5\}$이고, $70+e$가 소수여야 한다.
- 확인해 보면 $70+2 = 72 = 8 \cdot 9$는 합성수, $70+5 = 75 = 3 \cdot 25$는 합성수, $70+3 = 73$은 소수이다.
- 따라서 $d=7$에서 유일하게 되는 선택은 $e = 3$이고, 서로 다른 세 소수 $7$, $3$, $73$을 얻는다.
💡 세 가지 일의 자리 중 $7\_$을 소수로 만드는 것은 오직 $3$ 하나뿐이다.
4.NBT.B.5 단계 4 n을 곱한 뒤 각 자리 숫자를 더한다
- $d=7$이 이미 가능한 가장 큰 십의 자리를 주므로 더 작은 $d$는 이를 넘어설 수 없고, 따라서 $n$은 $d=7$, $e=3$에서 가장 크다.
- 세 소수를 곱하면 $n = 7 \cdot 3 \cdot 73 = 21 \cdot 73 = 1533$이다.
- 각 자리 숫자의 합은 $1+5+3+3 = 12$이며, 이것이 선택지 (A)이다.
💡 가장 큰 인수를 먼저 확정하고 곱한 뒤 네 자리 숫자를 그대로 읽어 더하면 된다.
4.OA.B.4 $d$와 $e$는 모두 소수이면서 한 자리 수여야 한다. 한 자리 소수는 정확히 $2$, $3$, $5$, $7$뿐이다 — 다른 한 자리 수는 4.OA.B.4 곱 $n = d \cdot e \cdot (10d+e)$는 가장 큰 인수 $10d+e$가 클 때 가장 크고, $10d+e$는 십의 자리 $d$를 4.OA.B.4 $d = 7$일 때 일의 자리 $e$는 $7$과 다른 한 자리 소수여야 하므로 $e \in \{2,3,5\}$이고, $70+e$가 소수여야 한다 4.NBT.B.5 $d=7$이 이미 가능한 가장 큰 십의 자리를 주므로 더 작은 $d$는 이를 넘어설 수 없고, 따라서 $n$은 $d=7$, $e=3$에서 가장 검토
합리성 확인: $d=7,\,e=3$이라는 선택은 가장 큰 한 자리 소수를 십의 자리로 쓰므로 그 두 자리 인수 $73$은 조건을 만족하는 형태 중 가장 크다. 다른 출발($d=5$는 최대 $53$, $d=3$은 최대 $37$, $d=2$는 최대 $23$)은 모두 더 작은 최상위 인수를 주므로 더 작은 곱이 된다. 따라서 $n=1533$이 진짜 최댓값이다. 그 자리 숫자 합 $12$는 선택지 중 하나로 (A)와 일치하며, 더 작은 $d$의 곱은 다른 자리 숫자 합을 주므로 답이 모호하지 않다.
대안 접근: 모든 유효한 세 쌍을 직접 나열한다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 두 자리 소수 $10d+e$ 중 두 자리가 모두 소수이면서 서로 다른 것은 $23\,(2\cdot 3),\,37\,(3\cdot 7),\,53\,(5\cdot 3),\,73\,(7\cdot 3)$이고, 각각의 곱은 $138,\,777,\,795,\,1533$이다. 가장 큰 것은 $1533$이고 자리 숫자 합은 $12$ — 같은 답 (A)이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (한 자리 소수 $\{2,3,5,7\}$를 찾고, 각 후보 두 자리 수 $10d+e$(예: $72,75,73$)가 소수인지 합성수인지 판정하는 데 사용.)4.NBT.B.5Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (각 자리 숫자를 더하기 전에 곱 $n = 7 \cdot 3 \cdot 73 = 1533$을 계산하는 데 사용.)
⭐ 곱을 가장 크게 하려면 두 자리 소수를 가장 크게 만들면 된다. 십의 자리를 가장 큰 한 자리 소수 $7$로 시작해 소수를 유지하는 일의 자리 하나($73$)를 찾으면 $7 \cdot 3 \cdot 73 = 1533$이고 자리 숫자 합은 $12$이다.
⭐ 곱을 가장 크게 하려면 두 자리 소수를 가장 크게 만들면 된다. 십의 자리를 가장 큰 한 자리 소수 $7$로 시작해 소수를 유지하는 일의 자리 하나($73$)를 찾으면 $7 \cdot 3 \cdot 73 = 1533$이고 자리 숫자 합은 $12$이다.
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