AMC 10 · 2002 · #15
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
홀짝(패리티)과 단 하나뿐인 짝수 소수 때문에 값이 아주 강하게 제한되어, 살아남는 값의 조합은 오직 하나뿐이다. 그래서 홀짝과 나누어떨어짐으로 경우를 지워 나가 A와 B의 답이 하나만 남게 한 뒤, 그 합을 읽어 내는 것이 좋은 방법이다.
네 소수의 이름 붙이기
네 소수 A, B, A - B, A + B를 적자. A - B가 양수이니 A는 B보다 크고, 두 수는 2B만큼 차이가 난다.
네 대상과 그들의 관계를 종이에 적어 두면 숨어 있던 홀짝 단서가 눈에 보인다.
2.OA.C.3Introduce A Variable둘 다 홀수는 불가능
A와 B가 둘 다 홀수면 A - B와 A + B가 모두 짝수인데, 짝수 소수는 2뿐이다. 그래서 둘 중 하나가 2이다.
홀수 빼기 홀수는 짝수이고 짝수 소수는 2뿐이므로, 큰 짝수 소수 두 개가 동시에 존재할 수는 없다.
홀수 빼기 홀수는 짝수이고 짝수인 소수는 2뿐이므로, 큰 홀수 소수 둘이 함께 성립할 수 없다.
▸ 왜?
홀짝이 같은 두 수는 크기와 상관없이 짝수만큼 차이 난다.
▸ 왜?
2보다 큰 짝수는 모두 2를 인수로 지니므로, 소수일 수 없다.
어느 것이 2인지 정하기
A는 2가 될 수 없다. A = 2이면 A - B가 0 이하가 되어 양의 소수가 아니다. 따라서 B = 2이다.
2에서 빼면 소수 아래로 떨어지므로, 2가 될 수 있는 것은 더 작은 수뿐이다.
4.OA.B.4Extreme Principle3으로 나누어떨어짐 이용하기
A - 2, A, A + 2는 2씩 떨어져 3의 나머지를 모두 덮는다. 3의 배수인 소수는 3뿐이니 A = 5이다.
2씩 떨어진 세 수는 항상 3으로 나눈 모든 나머지를 만들어 내므로, 하나는 반드시 소수 3이 된다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities더한 뒤 성질 고르기
네 소수는 5, 2, 3, 7이고 합은 17이다. 홀수이고 3, 5, 7로 나누어떨어지지 않으니 (E)만 남는다.
살아남은 소수가 2, 3, 5, 7뿐이면 그 합 17 역시 소수이다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities짝수 소수는 2뿐이라 B는 2여야 하고, 그러면 3으로 나누어떨어짐이 A = 5를 강제하여 소수 2, 3, 5, 7이 나오는데 그 합 17 역시 소수이다.
- 네 소수의 이름 붙이기
- 둘 다 홀수는 불가능
- 어느 것이 2인지 정하기
- 3으로 나누어떨어짐 이용하기
- 더한 뒤 성질 고르기