AMC 10 · 2002 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

0이 아닌 실수

a

b

c

에 대해 새로운 연산을

(a, b, c) = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}

로 정의하며, 세 입력의 순서는 정해져 있다.

(2, 12, 9)

의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

낯설어 보이는 기호 (a, b, c)는 사실 하나의 규칙일 뿐이다: 세 개의 분수를 만들어 더하라는 뜻이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 처리한다 — 수를 대입해 세 분수를 얻고, 각각을 따로 약분한 뒤, 공통분모로 더한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: 모든 보기가 정수이므로 세 조각의 크기를 어림해 보면 합이 하나의 보기로 좁혀지고, 분수 계산에서 실수가 있었는지도 잡아낸다.

1STEP 1

규칙에 수를 대입하기

각 글자는 자리를 가리킨다. $a=2$ , $b=12$ , $c=9$ 이므로 $(2, 12, 9)=\frac{2}{12}+\frac{12}{9}+\frac{9}{2}$ 이다.

(2, 12, 9) = 2/12 + 12/9 + 9/2

2STEP 2

각 분수를 약분하기

먼저 약분해 수를 작게 만든다. $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ , $\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ 이고 $\frac{9}{2}$ 는 이미 기약분수이다.

2/12 = 1/6, 12/9 = 4/3, 9/2 = 9/2

3STEP 3

공통분모로 더하기

분모 6, 3, 2는 모두 6의 약수이므로 $\frac{1}{6}+\frac{8}{6}+\frac{27}{6}=\frac{36}{6}$ , 곧 값은 6이고 (C)이다.

1/6 + 8/6 + 27/6 = 36/6 = 6 → (C)

정답

크기를 어림해 보면 합이 맞는지 확인된다. 세 조각은 약 0.17, 1.33, 4.5이고 0.17 + 1.33 + 4.5 ≈ 6이다. 모든 보기가 정수이므로 합은 정확히 6에 놓여야 한다 — 이웃한 5와 7은 어림값에서 너무 멀다. 이 어림은 순서 함정도 막아 준다: 만약 분수를 잘못된 순서로 만들었다면 합이 이 어림값 근처의 깔끔한 정수로 나오지 않았을 것이다.

💡핵심 정리

새로 만든 연산은 하나의 규칙일 뿐이다: 각 글자가 가리키는 자리에 수를 넣고, 평범한 분수 계산을 차근차근 하면 된다.

규칙에 수를 대입하기
각 분수를 약분하기
공통분모로 더하기

규칙에 수를 대입하기

각 분수를 약분하기

공통분모로 더하기

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