AMC 10 · 2002 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$a$ , $b$ , $c$ 가 모두 0이 아닌 실수일 때, 연산을 $(a, b, c) = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ 로 정의한다. $(2, 12, 9)$ 의 값을 구하여라.

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(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 0이 아닌 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 새로운 연산을 $(a, b, c) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$로 정의한다. $(2, 12, 9)$의 값을 구하여라.

주어진 것: 규칙 $(a, b, c) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$; $a$, $b$, $c$는 0이 아닌 실수이다; 주어진 입력은 $(2, 12, 9)$이므로 $a = 2$, $b = 12$, $c = 9$이다; 보기: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: $(2, 12, 9)$가 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 0이 아닌 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 새로운 연산을 $(a, b, c) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$로 정의한다. $(2, 12, 9)$의 값을 구하여라.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

낯설어 보이는 기호 $(a, b, c)$는 사실 하나의 규칙일 뿐이다: 세 개의 분수를 만들어 더하라는 뜻이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 처리한다 — 수를 대입해 세 분수를 얻고, 각각을 따로 약분한 뒤, 공통분모로 더한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: 모든 보기가 정수이므로 세 조각의 크기를 어림해 보면 합이 하나의 보기로 좁혀지고, 분수 계산에서 실수가 있었는지도 잡아낸다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

규칙에 수를 대입하기

정의에 따르면 첫 번째 글자는 첫 번째 분수의 분자, 두 번째 글자는 두 번째 분수의 분자, 세 번째 글자는 세 번째 분수의 분자에 들어간다.
$a = 2$, $b = 12$, $c = 9$이므로 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{12}$, $\dfrac{b}{c} = \dfrac{12}{9}$, $\dfrac{c}{a} = \dfrac{9}{2}$이다.
따라서 $(2, 12, 9) = \dfrac{2}{12} + \dfrac{12}{9} + \dfrac{9}{2}$이다.

$$(2, 12, 9) = \dfrac{2}{12} + \dfrac{12}{9} + \dfrac{9}{2}$$

💡 새로 만든 연산은 빈칸 채우기 규칙일 뿐이다: 각 글자가 가리키는 자리에 그 수를 넣으면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 2

각 분수를 약분하기

수가 작아지도록 먼저 각 분수를 약분한다.
$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$(분자와 분모를 $2$로 나눔), $\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$(분자와 분모를 $3$으로 나눔)이다.
마지막 분수 $\dfrac{9}{2}$는 이미 기약분수이다.

$$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}, \qquad \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}, \qquad \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{2}$$

💡 각 분수를 기약분수로 줄여 두면 분모가 작아져 마지막 덧셈이 쉬워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

공통분모로 더하기

분모 $6$, $3$, $2$는 모두 $6$의 약수이다.
각 분수를 분모 $6$으로 고쳐 쓰면 $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}$, $\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$, $\dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{6}$이다.
분자를 더하면 $\dfrac{1 + 8 + 27}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$이다.
따라서 $(2, 12, 9) = 6$이고, 이는 보기 (C)이다.

$$\dfrac{1}{6} + \dfrac{8}{6} + \dfrac{27}{6} = \dfrac{36}{6} = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 모든 분수가 하나의 분모를 공유하면 덧셈은 분자만 더하는 일이 된다.

[1] #7 6.EE.A.2 정의에 따르면 첫 번째 글자는 첫 번째 분수의 분자, 두 번째 글자는 두 번째 분수의 분자, 세 번째 글자는 세 번째 분수의 분자에 들어간다.

[2] #7 5.NF.B.3 수가 작아지도록 먼저 각 분수를 약분한다. $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$(분자와 분모를 $2$로 나눔), $\dfrac

[3] #7 5.NF.A.1 분모 $6$, $3$, $2$는 모두 $6$의 약수이다. 각 분수를 분모 $6$으로 고쳐 쓰면 $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6

검토

합리성 확인: 크기를 어림해 보면 합이 맞는지 확인된다. 세 조각은 약 $0.17$, $1.33$, $4.5$이고 $0.17 + 1.33 + 4.5 \approx 6$이다. 모든 보기가 정수이므로 합은 정확히 $6$에 놓여야 한다 — 이웃한 $5$와 $7$은 어림값에서 너무 멀다. 이 어림은 순서 함정도 막아 준다: 만약 분수를 잘못된 순서로 만들었다면 합이 이 어림값 근처의 깔끔한 정수로 나오지 않았을 것이다.

대안 접근: 약분하지 않고 세 분수를 곧바로 공통분모 $36$으로 놓아도 된다: $\dfrac{2}{12} = \dfrac{6}{36}$, $\dfrac{12}{9} = \dfrac{48}{36}$, $\dfrac{9}{2} = \dfrac{162}{36}$이다. 그러면 $\dfrac{6 + 48 + 162}{36} = \dfrac{216}{36} = 6$으로 같은 답 (C)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의 $(a, b, c) = \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{c} + \tfrac{c}{a}$를 읽고 $a = 2$, $b = 12$, $c = 9$를 올바른 순서로 대입하는 데 사용.)
5.NF.B.3 Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator ($\tfrac{2}{12}$를 $\tfrac{1}{6}$로, $\tfrac{12}{9}$를 $\tfrac{4}{3}$로 약분하는 데 사용.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (세 분수를 공통분모 $6$으로 고쳐 더해 $\tfrac{36}{6} = 6$을 얻는 데 사용.)

⭐ 새로 만든 연산은 하나의 규칙일 뿐이다: 각 글자가 가리키는 자리에 수를 넣고, 평범한 분수 계산을 차근차근 하면 된다.