AMC 10 · 2002 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremisosceles-trianglesystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 $A,B,C$ 와 $D$ 가 이 순서대로 한 직선 위에 놓여 있고, $AB = CD$ , $BC = 12$ 이다. 점 $E$ 는 이 직선 위에 있지 않으며 $BE = CE = 10$ 이다. $\triangle AED$ 의 둘레는 $\triangle BEC$ 의 둘레의 두 배이다. $AB$ 를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

15/2

(B)

(C)

17/2

(D)

(E)

19/2

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 직선 위에 그 순서대로 놓여 있고, 양 바깥쪽 간격이 같으며($AB = CD$) 가운데 간격은 $BC = 12$입니다. 직선 밖의 점 $E$는 $B$와 $C$에서 같은 거리에 있습니다: $BE = CE = 10$. 큰 삼각형 $AED$의 둘레는 작은 삼각형 $BEC$ 둘레의 정확히 두 배입니다. $AB$의 길이를 구하세요.

주어진 것: $A$, $B$, $C$, $D$는 그 순서대로 한 직선 위에 있다; $AB = CD$ (양 바깥쪽 두 선분이 같다); $BC = 12$; $E$는 직선 밖에 있고 $BE = CE = 10$; $\triangle AED$의 둘레 = 2 $\times$ $\triangle BEC$의 둘레; 선택지: (A) $15/2$, (B) $8$, (C) $17/2$, (D) $9$, (E) $19/2$

구하는 것: 길이 $AB$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

여기서는 정확한 그림이 전부입니다. 네 점과 $E$를 찍어 보면, 같은 거리 $BE = CE$(그리고 $AB = CD$) 때문에 그림이 좌우 대칭이 되고, 따라서 $E$는 $BC$의 중점 — 그리고 $AD$의 중점 — 바로 위에 놓입니다. 그 수직 높이를 내리면(도구 #1) 각 삼각형이 직각삼각형으로 갈라지는데, 이것이 바로 피타고라스 정리가 필요로 하는 모양입니다. 둘레 조건은 미지수를 이름 붙이기 전에는 쓸 수 없으므로 $AB = x$로 놓고(도구 #4), $AD$와 빗변 $AE$를 모두 $x$로 표현합니다. 그러면 같은 길이 $AE$에 대한 두 가지 식이 나오고, 그 둘을 같다고 놓으면(도구 #13) $x$에 대한 하나의 방정식으로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 가지 일 — 높이 구하기, 그다음 $AE$ 구하기 — 을 깔끔하게 나눠 줍니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

그림을 그리고 높이를 내린다

$A$, $B$, $C$, $D$를 왼쪽에서 오른쪽으로 찍고 $E$를 직선 위쪽에 둡니다.
$BE = CE = 10$이므로 삼각형 $BEC$는 이등변삼각형이고, 따라서 $E$는 $BC$의 중점 $M$ 바로 위에 놓이며 선분 $EM$은 직선과 수직입니다.
그러면 $BM = MC = \tfrac{12}{2} = 6$입니다.
직각삼각형 $BME$에서 피타고라스 정리로 높이 $EM = \sqrt{BE^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$을 얻습니다.

$$BM = 6,\quad EM = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$

💡 이등변삼각형의 꼭짓점은 밑변의 한가운데 바로 위에 있으므로, 높이가 밑변을 똑같은 두 반쪽으로 갈라 재기 쉽게 만든다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

AB에 이름을 붙이고 둘레 조건을 쓴다

작은 삼각형의 둘레는 $BE + EC + BC = 10 + 10 + 12 = 32$이므로, 큰 삼각형 $AED$의 둘레는 $2 \times 32 = 64$여야 합니다.
$AB = x$로 놓으면 $CD = x$이기도 하고, $AD = AB + BC + CD = x + 12 + x = 2x + 12$입니다.
그림이 수직선 $EM$에 대해 대칭이므로 두 빗변은 같습니다: $AE = DE$.
따라서 $\triangle AED$의 둘레는 $AD + 2\,AE = 64$이고, 이를 정리하면 $AE = \dfrac{64 - (2x + 12)}{2} = 26 - x$입니다.

$$\text{둘레}(BEC)=32 \Rightarrow \text{둘레}(AED)=64;\quad AD = 2x+12;\quad AE = \dfrac{64-(2x+12)}{2} = 26 - x$$

💡 미지수에 문자를 붙이면 "둘레의 두 배"라는 말이 실제로 다룰 수 있는 방정식으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형으로 AE를 잰다

$AB = CD$이므로 $BC$의 중점 $M$은 전체 선분 $AD$의 중점이기도 하고, 따라서 같은 높이 $EM = 8$이 $AD$로 내려옵니다.
$A$에서 발 $M$까지의 수평 거리는 $AM = AB + BM = x + 6$입니다.
삼각형 $AME$는 $M$에서 직각이므로, 피타고라스 정리로 $AE$에 대한 두 번째 식을 얻습니다: $AE^2 = AM^2 + EM^2 = (x + 6)^2 + 8^2$.

$$AM = x + 6,\quad AE^2 = (x+6)^2 + 8^2 = (x+6)^2 + 64$$

💡 수직 높이가 비스듬한 변 $AE$를, 두 변을 이미 아는 직각삼각형의 빗변으로 바꿔 준다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

두 AE를 같다고 놓고 푼다

이제 $AE$가 두 가지로 적혔습니다: 둘레에서 $AE = 26 - x$, 직각삼각형에서 $AE^2 = (x+6)^2 + 64$.
첫 식을 제곱해서 둘째 식과 맞춥니다: $(26 - x)^2 = (x + 6)^2 + 64$.
양변을 전개하면 $676 - 52x + x^2 = x^2 + 12x + 36 + 64$입니다.
$x^2$ 항이 소거되어 $676 - 52x = 12x + 100$이 남고, 따라서 $576 = 64x$, $x = 9$입니다.
그러므로 $AB = 9$, 즉 선택지 (D)입니다.

$$(26-x)^2 = (x+6)^2 + 64 \Rightarrow 676 - 52x = 12x + 100 \Rightarrow 64x = 576 \Rightarrow x = 9 \;\textbf{(D)}$$

💡 같은 길이를 정직하게 두 가지로 나타냈다면 둘은 반드시 같아야 하고, 그 둘을 맞추면 하나뿐인 미지수가 정해진다.

[1] #1 8.G.B.7 $A$, $B$, $C$, $D$를 왼쪽에서 오른쪽으로 찍고 $E$를 직선 위쪽에 둡니다. $BE = CE = 10$이므로 삼각형 $BEC$는

[2] #4 6.EE.B.6 작은 삼각형의 둘레는 $BE + EC + BC = 10 + 10 + 12 = 32$이므로, 큰 삼각형 $AED$의 둘레는 $2 \times 32

[3] #7 8.G.B.7 $AB = CD$이므로 $BC$의 중점 $M$은 전체 선분 $AD$의 중점이기도 하고, 따라서 같은 높이 $EM = 8$이 $AD$로 내려옵니다

[4] #13 8.EE.C.7 이제 $AE$가 두 가지로 적혔습니다: 둘레에서 $AE = 26 - x$, 직각삼각형에서 $AE^2 = (x+6)^2 + 64$. 첫 식을 제곱

검토

합리성 확인: $x = 9$를 다시 넣어 봅니다. 그러면 $AM = 9 + 6 = 15$, $EM = 8$이므로 $AE = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ — 깔끔한 $8\text{-}15\text{-}17$ 직각삼각형이고, $26 - x = 26 - 9 = 17$과 일치합니다. 큰 삼각형은 $AD = 2(9) + 12 = 30$과 두 빗변 $17$을 가져 둘레가 $30 + 17 + 17 = 64$이며, 이는 작은 삼각형의 $32$의 정확히 두 배입니다. 모든 것이 맞아떨어지므로 (D)가 정답입니다. $15/2$나 $17/2$ 같은 반정수 선택지는 2배 인수를 잘못 다룬 사람을 위한 함정입니다.

대안 접근: 그림에 좌표를 붙입니다: $M = (0,0)$, $E = (0,8)$, $B = (-6,0)$, $C = (6,0)$이고 대칭에 의해 $A = (-(6+x),0)$, $D = (6+x,0)$. 그러면 $AE = DE = \sqrt{(6+x)^2 + 64}$이고, 둘레 방정식 $2\sqrt{(6+x)^2+64} + (2x+12) = 64$가 똑같이 $\sqrt{(6+x)^2+64} = 26 - x$로 이어져 $x = 9$가 나옵니다. 대칭을 따지는 대신 거리를 직접 계산해도 같은 답에 이릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (높이 $EM = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$을 구하고 빗변을 $AE^2 = (x+6)^2 + 64$로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($AB = x$로 이름 붙이고 둘레 조건에서 $AD = 2x + 12$, $AE = 26 - x$를 쓰는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (($x^2$ 항이 소거된 뒤) $676 - 52x = 12x + 100$을 풀어 $x = 9$를 얻는 데 사용.)

⭐ 높이를 내려 그림을 직각삼각형으로 쪼갠 뒤, 빗변을 두 가지 — 두 배가 된 둘레에서 한 번, 피타고라스 정리에서 한 번 — 로 써서 서로 맞추면 $AB = 9$가 정해진다.