AMC 10 · 2002 · #23
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
여기서는 정확한 그림이 전부입니다. 네 점과 E를 찍어 보면, 같은 거리 BE = CE(그리고 AB = CD) 때문에 그림이 좌우 대칭이 되고, 따라서 E는 BC의 중점 — 그리고 AD의 중점 — 바로 위에 놓입니다. 그 수직 높이를 내리면(도구 #1) 각 삼각형이 직각삼각형으로 갈라지는데, 이것이 바로 피타고라스 정리가 필요로 하는 모양입니다. 둘레 조건은 미지수를 이름 붙이기 전에는 쓸 수 없으므로 AB = x로 놓고(도구 #4), AD와 빗변 AE를 모두 x로 표현합니다. 그러면 같은 길이 AE에 대한 두 가지 식이 나오고, 그 둘을 같다고 놓으면(도구 #13) x에 대한 하나의 방정식으로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 가지 일 — 높이 구하기, 그다음 AE 구하기 — 을 깔끔하게 나눠 줍니다.
그림을 그리고 높이를 내린다
BE = CE = 10이라 삼각형 BEC는 이등변이고, E는 BC의 중점 M 위에 옵니다. BM = 6, 높이 EM = 8.
이등변삼각형의 꼭짓점은 밑변의 한가운데 바로 위에 있으므로, 높이가 밑변을 똑같은 두 반쪽으로 갈라 재기 쉽게 만든다.
이등변삼각형의 꼭짓점은 밑변의 한가운데 바로 위에 있어, 밑변을 같은 두 조각으로 가른다.
▸ 왜?
두 변이 같으면 삼각형이 그 선에 대해 자기 자신의 거울상이 된다.
▸ 왜?
접는 선은 접히는 것과 직각으로 만나고 그것을 정확히 반으로 자른다.
AB에 이름을 붙이고 둘레 조건을 쓴다
작은 둘레 10 + 10 + 12 = 32의 두 배라 AED는 64. AB = x면 AD = 2x + 12, AE = 26 - x.
미지수에 문자를 붙이면 "둘레의 두 배"라는 말이 실제로 다룰 수 있는 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable직각삼각형으로 AE를 잰다
AB = CD라 M은 AD의 중점이기도 해서 높이 8이 그대로 내려옵니다. AM = x + 6이므로 AE² = (x+6)² + 64.
수직 높이가 비스듬한 변 AE를, 두 변을 이미 아는 직각삼각형의 빗변으로 바꿔 준다.
8.G.B.7Identify Subproblems두 AE를 같다고 놓고 푼다
두 식을 맞추면 (26 - x)² = (x+6)² + 64, 정리하면 64x = 576. 따라서 AB = 9, 선택지 (D)입니다.
같은 길이를 정직하게 두 가지로 나타냈다면 둘은 반드시 같아야 하고, 그 둘을 맞추면 하나뿐인 미지수가 정해진다.
8.EE.C.7Convert To Algebra높이를 내려 그림을 직각삼각형으로 쪼갠 뒤, 빗변을 두 가지 — 두 배가 된 둘레에서 한 번, 피타고라스 정리에서 한 번 — 로 써서 서로 맞추면 AB = 9가 정해진다.
- 그림을 그리고 높이를 내린다
- AB에 이름을 붙이고 둘레 조건을 쓴다
- 직각삼각형으로 AE를 잰다
- 두 AE를 같다고 놓고 푼다