AMC 10 · 2002 · #22
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
주어진 두 길이와 정답이 모두 두 변에 의해 정해지므로, 핵심 수는 도구 #4 (변수 도입하기)이다: 두 변을 p = OX, q = OY로 놓는다. 도구 #1 (그림 그리기)로 보면 XN, YM, XY가 각각 O에 직각을 둔 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리가 모든 길이를 p와 q에 대한 식으로 바꾼다. 영리한 부분은 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이다: p와 q를 따로 구할 필요가 전혀 없고, 오직 p² + q²만 있으면 되며, 두 식을 더하면 그것이 한 번에 나온다.
두 변에 이름 붙이기
O의 두 변을 p = OX, q = OY라 하자. 중점이므로 OM = p/2, ON = q/2이고, 모든 길이가 두 글자로 적힌다.
모르는 두 변에 이름을 붙이면 그림 속 모든 길이가 계산할 수 있는 식이 된다.
6.EE.A.2Introduce A Variable선분 XN에 피타고라스 적용
삼각형 XON도 O에서 직각이고 두 변은 p와 q/2, 빗변은 XN = 19이므로 p² + q²/4 = 361이다.
X, O, N이 O에서 직각인 삼각형을 이루므로 XN은 그 빗변일 뿐이다.
8.G.B.7Identify Subproblems선분 YM에 피타고라스 적용
삼각형 YOM도 O에서 직각이고 두 변은 q와 p/2, 빗변은 YM = 22이므로 q² + p²/4 = 484이다.
O에 있는 같은 직각 덕분에 YM은 두 번째 직각삼각형의 빗변이 된다.
8.G.B.7Identify Subproblems두 식을 더하기
두 식을 더하면 5/4(p² + q²) = 845이고, 4/5를 곱하면 p² + q² = 676이다.
두 식 모두 같은 묶음 p² + q²을 감추고 있으므로, 더하면 그 묶음이 바로 빠져나온다.
두 식이 같은 변의 제곱 덩어리를 숨기고 있으므로, 더하면 그 덩어리가 곧바로 빠져나온다.
▸ 왜?
똑같은 덩어리를 지닌 두 양은 그 덩어리만 남도록 합칠 수 있다.
▸ 왜?
각 식은 같은 두 변 위의 직각삼각형에서 나오며, 그 덩어리는 거기서 온다.
빗변 XY에 피타고라스 적용
XY는 삼각형 XOY 자신의 빗변이므로 XY² = p² + q² = 676이고 XY = 26, 답은 (B)이다.
두 식이 건네준 바로 그 양 p² + q²이 정확히 XY²이다.
8.G.B.7Identify Subproblems두 피타고라스 식이 모두 같은 p² + q²을 감추고 있을 때는, 각 변을 구하는 대신 두 식을 더하라 — 원하는 묶음이 바로 튀어나온다.
- 두 변에 이름 붙이기
- 선분 XN에 피타고라스 적용
- 선분 YM에 피타고라스 적용
- 두 식을 더하기
- 빗변 XY에 피타고라스 적용