AMC 10 · 2002 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
thirty-sixty-ninety-trianglearc-measurerate identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratethirty-sixty-ninety-triangle
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
관람차는 반지름이 20피트인 원이고, 1분에 정확히 한 바퀴씩 일정한 속도로 돕니다. 승객이 맨 아래에서 출발할 때, 맨 아래보다 10피트 높은 지점에 도달하기까지 몇 초가 걸리는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
6
(C)
7.5
(D)
10
(E)
15

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제는 돌아가는 원과 수직 높이를 섞어 놓았으므로 도구 #1(그림 그리기)이 출발점입니다. 관람차를 원으로 그리고 중심, 맨 아래 지점, 승객을 표시하면 '맨 아래보다 얼마나 높은가'가 직각삼각형 안의 길이로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눕니다 — 먼저 관람차가 돈 각도를 구하고, 그 각도를 시간으로 바꿉니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 승객의 가로 방향 거리를 이름 붙여 피타고라스 정리로 위치를 확정하게 해 줍니다. 마지막으로 도구 #8(단위 살펴보기)이 각도를 초로 옮깁니다. 1분에 한 바퀴라는 일정한 속도에서는 각도의 같은 비율이 곧 60초의 같은 비율이기 때문입니다.

1STEP 1

관람차를 그리고 점을 놓기

맨 아래를 B=(0,0)으로 두면 반지름이 20이므로 중심은 O=(0,20)이고, 목표 지점은 P=(x,10)입니다.

OB = OP = 20, B=(0,0), O=(0,20), P=(x,10)
2STEP 2

승객의 위치 찾기

P는 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으니 x² + 10² = 20², 즉 x² = 300, x = 10√(3)입니다.

x² + 10² = 20² → x² = 300 → x = 10√(3)
3STEP 3

돈 각도 재기

현 BP = √(300 + 100) = 20이라 삼각형 OBP는 정삼각형이고, 돈 각도는 60°입니다.

BP = √(300+100) = 20 = OB = OP → △ OBP 정삼각형 → ∠ BOP = 60°
4STEP 4

각도를 초로 바꾸기

60°는 한 바퀴의 1/6이고, 속도가 일정하니 60초의 1/6인 10초가 걸립니다. 답은 (D)입니다.

60°/360° = 1/6, 1/6 × 60 초 = 10 초 (D)
정답
10
답의 크기를 확인합니다. 관람차의 절반(맨 아래에서 맨 위까지, 40피트 상승)은 180°이고 30초가 걸립니다. 10피트만 올라가는 것은 절반 높이에 훨씬 못 미치므로 시간은 30초보다 훨씬 작아야 하고, 10초가 맞습니다. 함정들도 말이 됩니다: 15(E)는 사분의 일 바퀴로 승객을 중심 높이인 20피트까지 올리므로 10피트가 아니고, 5(A)와 6(B)은 60° 회전에 비해 너무 작습니다. 오직 (D) 10만이 기하가 강제하는 60°와 맞습니다.
💡핵심 정리

'얼마나 높은가'를 관람차 중심의 각도로 바꾼 다음, 그 각도를 시간으로 맞바꾸세요 — 원의 같은 비율이 곧 분의 같은 비율입니다.

  • 관람차를 그리고 점을 놓기
  • 승객의 위치 찾기
  • 돈 각도 재기
  • 각도를 초로 바꾸기

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