AMC 10 · 2002 · #24

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

티나는 집합 $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 에서 서로 다른 두 수를 무작위로 고르고, 세르지오는 집합 $\{ 1, 2, ..., 10 \}$ 에서 한 수를 무작위로 고른다. 세르지오가 고른 수가 티나가 고른 두 수의 합보다 클 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2/5$

(B)

$\ 9/20$

(C)

$\ 1/2$

(D)

$\ 11/20$

(E)

$\ 24/25$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 티나는 $\{1,2,3,4,5\}$에서 서로 다른 두 수를 골라 더해서 합 $T$를 만든다. 이와 별개로 세르지오는 $\{1,2,\dots,10\}$에서 한 수 $S$를 고른다. 모든 선택은 똑같이 일어날 가능성이 있다. 세르지오의 수가 티나의 합보다 큰 경우, 즉 $S > T$일 확률을 구하라.

주어진 것: 티나는 $\{1,2,3,4,5\}$에서 서로 다른 두 수를 고르고, 그 값은 두 수의 합 $T$이다.; 세르지오는 $\{1,2,\dots,10\}$에서 한 수 $S$를 고른다.; 티나의 모든 쌍은 똑같이 일어날 가능성이 있고, 세르지오의 $10$개 수도 똑같이 일어날 가능성이 있으며, 두 선택은 서로 독립이다.; 선택지: (A) $2/5$, (B) $9/20$, (C) $1/2$, (D) $11/20$, (E) $24/25$.

구하는 것: $S > T$일 확률.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

두 선택이 서로 독립이므로, 확률을 정직하게 구하는 방법은 경우의 수를 세는 것이다: (이기는 $(T,S)$ 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수). 티나의 합은 값이 몇 개($3$부터 $9$까지)뿐이므로, 그 합을 기준으로 빠짐없이 나열하면(도구 #2) 빠뜨림이나 중복 없이 모든 경우를 담을 수 있다. 각 합마다 깔끔한 작은 문제로 쪼갠다(도구 #7): 그 합을 만드는 쌍은 몇 개이고, 세르지오의 수 중 그 합보다 큰 것은 몇 개인가. 값 $T$를 기준으로 묶으면(도구 #16 — 가장 쓸모 있는 것을 중심으로 정리하기) 지저분한 $10 \times 10$ 격자가 더해 올릴 수 있는 일곱 개의 깔끔한 줄로 바뀐다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

똑같이 일어날 전체 경우의 수 세기

티나는 $5$개에서 서로 다른 $2$개를 고르므로 $\binom{5}{2}=10$가지이다(합에서는 순서가 중요하지 않다).
세르지오는 독립적으로 $10$개 중 하나를 고른다.
선택이 독립이고 모든 조합이 똑같이 일어날 가능성이 있으므로, 전체 (티나 쌍, 세르지오 수) 경우의 수는 $10 \times 10 = 100$이다.
이 $100$이 확률의 분모가 된다.

$$\binom{5}{2}\times 10 = 10 \times 10 = 100$$

💡 독립인 선택은 곱해지므로, 전체 표본공간은 티나의 경우의 수 곱하기 세르지오의 경우의 수이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

티나의 쌍을 합으로 분류하기

$10$개 쌍을 각자 만드는 합 $T$로 정리한다.
합 $3$: $(1,2)$ — $1$개.
합 $4$: $(1,3)$ — $1$개.
합 $5$: $(1,4),(2,3)$ — $2$개.
합 $6$: $(1,5),(2,4)$ — $2$개.
합 $7$: $(2,5),(3,4)$ — $2$개.
합 $8$: $(3,5)$ — $1$개.
합 $9$: $(4,5)$ — $1$개.
이 개수들을 더하면 $1+1+2+2+2+1+1=10$이므로, 모든 쌍이 정확히 한 번씩 세어졌다.

$$T:\ 3,4,5,6,7,8,9 \ \to\ \text{쌍의 수 } 1,1,2,2,2,1,1\ (\text{합 }10)$$

💡 경우를 합으로 정렬하면 각 쌍을 한 번씩만 보고 두 번 세지 않게 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 3

합마다 세르지오의 이기는 수 세기

합 $T$가 정해지면, 세르지오는 $S > T$일 때, 즉 $S \in \{T+1, \dots, 10\}$일 때 이기며, 이는 $10 - T$개이다.
이제 각 합을 그 합을 만드는 쌍의 수로 가중한다.
합 $3$: $1$쌍 $\times (10-3)=7$.
합 $4$: $1\times 6 = 6$.
합 $5$: $2\times 5 = 10$.
합 $6$: $2\times 4 = 8$.
합 $7$: $2\times 3 = 6$.
합 $8$: $1\times 2 = 2$.
합 $9$: $1\times 1 = 1$.

$$\#\{S>T\} = 10 - T$$

💡 합이 정해지면, 그보다 큰 수는 그 위부터 $10$까지 전부일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

이기는 경우 더하기

각 줄의 합을 더해 세르지오가 이기는 $(T,S)$ 경우의 수를 구한다: $7+6+10+8+6+2+1 = 40$.
따라서 똑같이 일어날 가능성이 있는 $100$개 경우 중 $40$개가 세르지오의 승리이다.

$$7+6+10+8+6+2+1 = 40$$

💡 유리한 경우의 수는 합마다의 이기는 개수를 모두 더한 것일 뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 5

확률 구하기

유리한 경우를 전체로 나눈다: $\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}$.
선택지와 비교하면 $\dfrac{2}{5}$는 (A)이다.

$$P(S>T) = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 똑같이 일어날 가능성이 있는 사건의 확률은 유리한 경우 나누기 전체 경우이다.

[1] #7 7.SP.C.8 티나는 $5$개에서 서로 다른 $2$개를 고르므로 $\binom{5}{2}=10$가지이다(합에서는 순서가 중요하지 않다). 세르지오는 독립적으로

[2] #2 7.SP.C.8 $10$개 쌍을 각자 만드는 합 $T$로 정리한다. 합 $3$: $(1,2)$ — $1$개. 합 $4$: $(1,3)$ — $1$개. 합 $5$

[3] #2 7.SP.C.7 합 $T$가 정해지면, 세르지오는 $S > T$일 때, 즉 $S \in \{T+1, \dots, 10\}$일 때 이기며, 이는 $10 - T$개

[4] #7 4.OA.A.3 각 줄의 합을 더해 세르지오가 이기는 $(T,S)$ 경우의 수를 구한다: $7+6+10+8+6+2+1 = 40$. 따라서 똑같이 일어날 가능성이

[5] #2 7.SP.C.7 유리한 경우를 전체로 나눈다: $\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}$. 선택지와 비교하면 $\dfrac{2}{5}$는 (A)

검토

합리성 확인: 답 $2/5 = 0.4$는 절반보다 조금 작아야 하는데, 이는 이치에 맞는다: 티나의 가장 작은 합조차 $3$이므로, ($1$까지 내려갈 수 있는) 세르지오는 비기기도 전에 이미 뒤처져 있는 경우가 많다. 간단한 어림 확인: 티나의 합 평균은 $(3+9)/2 = 6$이고, 합 $6$에 맞서 세르지오는 $10$개 중 $4$개로 이기므로 확률 $0.4$ — $2/5$와 일치한다. 또 $40/100$은 깔끔하게 $2/5$로 약분되어 선택지 중 하나이고, 쌍의 수 합이 $10 = \binom{5}{2}$가 되어 빠뜨리거나 중복 센 경우가 없음을 확인해 준다.

대안 접근: 대칭성을 이용한다(도구 #5, 패턴 찾기). 티나의 합 분포는 $6$을 중심으로 대칭이다: $P(T=i)=P(T=12-i)$. 합 $i$가 주어지면 $P(S>i)=\tfrac{10-i}{10}$이고, 이 대칭에 의해 이는 거울상 합에 대한 $P(S<i')$와 짝을 이룬다. $S>T$의 확률과 그 거울상 식을 더하면 모든 항이 $\tfrac{10-i}{10}+\tfrac{i-2}{10}=\tfrac{4}{5}$로 모이므로, $2P = \tfrac{4}{5}$이고 $P = \tfrac{2}{5}$, 다시 (A)이다 — 경우를 하나하나 셀 필요가 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and tree diagrams (전체 $10 \times 10 = 100$개 경우를 세고, 각 쌍이 정확히 한 번씩 세어지도록 티나의 쌍을 합으로 정리하는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (각 합마다 세르지오의 이기는 수($10-T$)를 세고, 유리한 경우 나누기 전체로 확률 $40/100 = 2/5$를 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multistep word problems using the four operations (각 합을 그 쌍의 수로 가중하고 일곱 개의 줄 합 $7+6+10+8+6+2+1 = 40$을 더하는 데 사용.)

⭐ 티나의 쌍을 합으로 묶고, 각 합마다 세르지오의 수 중 더 큰 것이 몇 개인지 세어 모두 더한 뒤, 전체 $100$개 경우로 나눈다.