AMC 10 · 2002 · #24

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
티나는 {1,2,3,4,5}에서 서로 다른 두 수를 골라 더해서 합 T를 만든다. 이와 별개로 세르지오는 {1,2,…,10}에서 한 수 S를 고른다. 모든 선택은 똑같이 일어날 가능성이 있다. 세르지오의 수가 티나의 합보다 큰 경우, 즉 S ＞ T일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 2/5$
(B)
$\ 9/20$
(C)
$\ 1/2$
(D)
$\ 11/20$
(E)
$\ 24/25$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

두 선택이 서로 독립이므로, 확률을 정직하게 구하는 방법은 경우의 수를 세는 것이다: (이기는 (T,S) 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수). 티나의 합은 값이 몇 개(3부터 9까지)뿐이므로, 그 합을 기준으로 빠짐없이 나열하면(도구 #2) 빠뜨림이나 중복 없이 모든 경우를 담을 수 있다. 각 합마다 깔끔한 작은 문제로 쪼갠다(도구 #7): 그 합을 만드는 쌍은 몇 개이고, 세르지오의 수 중 그 합보다 큰 것은 몇 개인가. 값 T를 기준으로 묶으면(도구 #16 — 가장 쓸모 있는 것을 중심으로 정리하기) 지저분한 10 × 10 격자가 더해 올릴 수 있는 일곱 개의 깔끔한 줄로 바뀐다.

1STEP 1

똑같이 일어날 전체 경우의 수 세기

티나의 쌍은 C(5, 2)=10가지, 세르지오는 10가지이고 서로 독립이므로 전체 경우는 100가지다.

C(5, 2) × 10 = 10 × 10 = 100
2STEP 2

티나의 쌍을 합으로 분류하기

10개 쌍을 합으로 정리하면 합 3부터 9까지 쌍의 수는 1,1,2,2,2,1,1이고, 더하면 10이다.

T: 3,4,5,6,7,8,9 → 쌍의 수 1,1,2,2,2,1,1 (합 10)
3STEP 3

합마다 세르지오의 이기는 수 세기

합 T가 정해지면 이기는 수는 10 - T개이고, 쌍의 수를 곱하면 줄별로 7, 6, 10, 8, 6, 2, 1이다.

#{S ＞ T} = 10 - T
4STEP 4

이기는 경우 더하기

줄을 모두 더하면 7+6+10+8+6+2+1 = 40이고, 100가지 중 40가지가 세르지오의 승리다.

7+6+10+8+6+2+1 = 40
5STEP 5

확률 구하기

유리한 경우를 전체로 나누면 40/100 = 2/5이고, 이는 선택지 (A)다.

P(S ＞ T) = 40/100 = 2/5 → (A)
정답
2/5
답 2/5 = 0.4는 절반보다 조금 작아야 하는데, 이는 이치에 맞는다: 티나의 가장 작은 합조차 3이므로, (1까지 내려갈 수 있는) 세르지오는 비기기도 전에 이미 뒤처져 있는 경우가 많다. 간단한 어림 확인: 티나의 합 평균은 (3+9)/2 = 6이고, 합 6에 맞서 세르지오는 10개 중 4개로 이기므로 확률 0.4 — 2/5와 일치한다. 또 40/100은 깔끔하게 2/5로 약분되어 선택지 중 하나이고, 쌍의 수 합이 10 = C(5, 2)가 되어 빠뜨리거나 중복 센 경우가 없음을 확인해 준다.
💡핵심 정리

티나의 쌍을 합으로 묶고, 각 합마다 세르지오의 수 중 더 큰 것이 몇 개인지 세어 모두 더한 뒤, 전체 100개 경우로 나눈다.

  • 똑같이 일어날 전체 경우의 수 세기
  • 티나의 쌍을 합으로 분류하기
  • 합마다 세르지오의 이기는 수 세기
  • 이기는 경우 더하기
  • 확률 구하기

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