AMC 10 · 2002 · #18
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
네 원이 한꺼번에 교차하면 얽혀 보이지만, 교점은 결코 세 원 사이에서 생기지 않는다 — 모든 교점은 정확히 한 쌍의 원에 속한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 이 사실을 이용해 전체 개수를 쌍별 합으로 나눈다: 전체는 (한 쌍당 점의 수) 곱하기 (쌍의 수) 일 뿐이다. 도구 #1 (그림 그리기)는 첫째 인수를 확정한다 — 두 원은 최대 두 점에서 만난다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)는 둘째 인수를 확정한다 — 네 원의 쌍을 조심스럽게 나열해 하나도 빠뜨리거나 중복하지 않는다. 도구 #14 (극단의 원리)가 논증을 마무리한다: 모든 쌍이 실제로 두 점에서 만나고 세 원이 한 점을 공유하지 않을 때 전체가 최대가 되며, 이 최선의 경우가 실제로 그릴 수 있는지 확인한다.
두 원은 최대 두 번 만난다
서로 다른 두 원은 안 만나거나 접하거나 두 점에서 만난다. 세 점은 불가능하니 한 쌍은 최대 2 점이다.
원은 중심과 반지름만 정하면 고정되므로, 두 원이 서로를 세 번째로 가로지를 만큼 감쌀 수 없다.
두 원은 많아야 두 번 만나는데, 원은 중심과 반지름이 정해지면 고정되기 때문이다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 정해진 거리에 있으므로, 세 번째 만남의 자리가 없다.
▸ 왜?
각 만남은 정확히 한 쌍의 원에 속하므로, 짝을 세면 겹침 없이 만남을 세게 된다.
모든 교점은 한 쌍에 속한다
교점은 두 원 위에 놓이니 정확히 한 쌍의 것이다. 그래서 전체는 쌍별 교점을 더한 값일 뿐이다.
지저분한 세기를 쌍마다 하나씩 깔끔한 세기로 쪼개면 얽힘이 단순한 계산으로 바뀐다.
4.OA.A.3Identify Subproblems원의 쌍을 나열하기
원을 1, 2, 3, 4로 이름 붙여 중복 없이 나열하면 {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, 즉 6 쌍이다.
작은 번호를 앞에 두어 순서대로 쌍을 나열하면 각 쌍을 정확히 한 번만 세게 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기
6 쌍이 각각 2 점씩이고, 중심이 정사각형인 같은 크기의 원 네 개가 이를 실현하므로 6 × 2 = 12, 즉 (D)다.
모든 쌍을 한계인 두 점까지 밀어붙이고 어떤 교점도 공유로 잃지 않을 때 점이 가장 많아진다.
3.OA.A.1Extreme Principle두 원은 최대 두 번 만나므로, 원의 쌍이 몇 개인지 세어 두 배 하면 된다.
- 두 원은 최대 두 번 만난다
- 모든 교점은 한 쌍에 속한다
- 원의 쌍을 나열하기
- 곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기