AMC 10 · 2003 · #20

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region
base-conversionprobability-basicinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: base-conversion
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
세 자리 십진수 n(즉 100부터 999까지)을 무작위로 하나 고른다. 이 n을 9진법으로 다시 쓸 때도 자릿수가 정확히 세 자리이고, 11진법으로 다시 쓸 때도 정확히 세 자리일 확률을 구하려 한다. 그런 다음 그 확률이 주어진 값들 중 어느 것에 가장 가까운지 말한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0.3
(B)
0.4
(C)
0.5
(D)
0.6
(E)
0.7

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

각 진법이 저마다의 조건을 주므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이렇게 나눈다: 9진법에서 세 자리가 되는 n의 정확한 범위를 구하고, 11진법에서도 똑같이 구한 뒤, 주어진 십진법 조건까지 함께 만족하는 n만 남긴다. 'b진법에서 세 자리'를 깔끔한 범위로 바꾸기 위해 도구 #14(극단의 원리)를 쓴다: 어떤 진법에서 가장 작은 세 자리 수와 가장 큰 세 자리 수가 경계가 되고, 진법의 거듭제곱이 바로 그 가장자리에 놓인다. 마지막으로 도구 #1(그림 그리기) — 세 범위가 겹치는 수직선 — 으로 공통으로 겹치는 구간을 한눈에 보이게 하면, 그 구간을 세어 나누기만 하면 된다.

1STEP 1

'b진법에서 세 자리'의 뜻

b진법에서 가장 작은 세 자리 수는 b²이고 가장 큰 수는 b³보다 1 작으므로, 세 자리는 곧 b² ≤ n ≤ b³-1이다.

b진법에서 세 자리 ⇔ b² ≤ n ≤ b³-1
2STEP 2

각 진법의 범위 적기

경계를 대입하면 9진법은 81 ≤ n ≤ 728, 11진법은 121 ≤ n ≤ 1330, 후보 전체는 100 ≤ n ≤ 999이다.

81 ≤ n ≤ 728 (9진법), 121 ≤ n ≤ 1330 (11진법), 100 ≤ n ≤ 999 (10진법)
3STEP 3

세 범위를 겹치기

세 조건이 동시에 성립하는 곳은 가장 높은 바닥부터 가장 낮은 천장까지이므로 121 ≤ n ≤ 728이다.

max(81,121,100)=121, min(728,1330,999)=728 → 121 ≤ n ≤ 728
4STEP 4

당첨을 세어 나누기

구간의 정수는 728-121+1 = 608개, 전체는 900개이므로 확률은 약 0.676이고 0.7에 가장 가까운 (E)가 답이다.

(728-121+1)/900 = 608/900 ≈ 0.676 → (E) 0.7
정답
0.7
유리한 창 121부터 728까지는 100부터 999까지의 후보 안에 넉넉히 들어가 있고, 그 폭의 3분의 2보다 조금 더(900 중 608)를 덮으므로, 0.68 근처의 확률은 타당하다. 아주 작거나 1에 가까울 수는 없으므로 낮은 선택지들은 배제되고, 608/900이 0.65를 넘겨 반올림되므로 0.7이 0.6을 이긴다. 경계를 빠르게 확인해 보면: 120은 11진법에서 AA₁₁(두 자리)이지만 121 = 100₁₁(세 자리)이고, 729 = 1000₉(네 자리)인 반면 728 = 888₉(세 자리)이므로, 가장자리가 정확히 121과 728임이 확인된다.
💡핵심 정리

어떤 수가 b진법에서 세 자리가 되는 것은 정확히 b²부터 b³-1까지일 때이므로, 여러 진법을 한꺼번에 만족시키려면 가장 높은 바닥과 가장 낮은 천장을 잡고 그 사이에 남는 것을 세면 된다.

  • 'b진법에서 세 자리'의 뜻
  • 각 진법의 범위 적기
  • 세 범위를 겹치기
  • 당첨을 세어 나누기

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