AMC 10 · 2002 · #3
학년 6 arithmetic거듭제곱에 대한 표준 규약에 따르면
2222=2(2(22))=216=65536.
거듭제곱을 계산하는 순서를 바꾸면, 나올 수 있는 다른 값은 몇 개인가?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2$ 네 개를 쌓은 $2^{2^{2^{2}}}$는 지수를 오른쪽에서 왼쪽으로 묶는 표준 순서로 계산하면 $65536$이 된다. 괄호를 다른 모든 가능한 순서로 넣었을 때, (주어진 값을 빼고) 서로 다른 값이 몇 개나 나올 수 있는지 세어라.
주어진 것: 이 식은 오직 거듭제곱만으로 이어진, 정확히 네 개의 $2$로 이루어진 탑이다; 표준 묶음은 $2^{(2^{(2^{2})})}=2^{16}=65536$이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: 괄호를 다시 묶어 $65536$ 말고 만들어 낼 수 있는 값의 개수
이해
문제 재정리: $2$ 네 개를 쌓은 $2^{2^{2^{2}}}$는 지수를 오른쪽에서 왼쪽으로 묶는 표준 순서로 계산하면 $65536$이 된다. 괄호를 다른 모든 가능한 순서로 넣었을 때, (주어진 값을 빼고) 서로 다른 값이 몇 개나 나올 수 있는지 세어라.
주어진 것: 이 식은 오직 거듭제곱만으로 이어진, 정확히 네 개의 $2$로 이루어진 탑이다; 표준 묶음은 $2^{(2^{(2^{2})})}=2^{16}=65536$이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
"값이 몇 개나 가능한가"는 작고 유한한 배열들을 대상으로 하는 세기 문제이므로, Tool #2(빠짐없이 나열하기)가 뼈대가 된다: 네 개짜리 탑을 괄호로 묶는 방법은 몇 가지뿐이고, 그것을 모두 적어 두면 빠뜨리거나 겹쳐 세는 일이 없다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 안전하게 해 준다 — 각 묶음을 가장 안쪽 괄호부터 바깥으로 한 번에 하나의 작은 거듭제곱씩 계산하므로, 어떤 단계도 두 자리 수를 제곱하는 것보다 커지지 않는다. Tool #3(가능성 지우기)이 마무리를 짓는다: 결과를 나열한 뒤 겹치는 값과 원래 값을 지우면, 남는 것이 문제가 원하는 개수다.
실행 — 정답: B
5.OA.A.1 단계 1 괄호 묶는 방법을 모두 나열하기
- 거듭제곱으로 이어진 네 수의 탑을 괄호로 묶는 방법은 정확히 다섯 가지다.
- 모두 적으면: $2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}$, $2^{\left(\left(2^{2}\right)^{2}\right)}$, $\left(2^{2}\right)^{\left(2^{2}\right)}$, $\left(\left(2^{2}\right)^{2}\right)^{2}$, 그리고 $\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)^{2}$.
- 첫 번째가 문제에 나온 표준 묶음이고, 목표는 나머지 넷 중 어느 것이 새로운 값을 주는지 보는 것이다.
💡 괄호를 다르게 놓는 것은 곧 지수 계산의 순서를 다르게 하는 것이므로, 다섯 가지를 모두 적으면 놓치는 경우가 없다.
6.EE.A.1 단계 2 각 식을 안쪽부터 계산하기
- 각 묶음을 가장 안쪽 괄호부터 시작해 계산한다.
- 묶음 1: $2^{2}=4$, 다음 $2^{4}=16$, 다음 $2^{16}=65536$.
- 묶음 2: $2^{2}=4$, 다음 $4^{2}=16$, 다음 $2^{16}=65536$.
- 묶음 3: $2^{2}=4$이고 $2^{2}=4$, 다음 $4^{4}=256$.
- 묶음 4: $2^{2}=4$, 다음 $4^{2}=16$, 다음 $16^{2}=256$.
- 묶음 5: $2^{2}=4$, 다음 $2^{4}=16$, 다음 $16^{2}=256$.
- 탑들은 오직 두 가지 크기로만 줄어든다.
💡 적당한 수를 제곱하면 작게 유지되지만, $16$을 지수 자리로 끌어올리면 탑이 $65536$까지 폭발한다.
5.OA.A.1 단계 3 겹치는 값과 원래 값 지우기
- 다섯 결과는 $65536,\,65536,\,256,\,256,\,256$이므로, 서로 다른 값은 $65536$과 $256$ 둘뿐이다.
- $65536$은 이미 문제에 주어진 값이고, 문제는 이를 빼라고 한다.
- 그러면 새로운 값은 $256$ 하나만 남는다.
- 따라서 가능한 다른 값은 정확히 하나이고, 이는 선택지 (B)이다.
💡 '다른' 값을 센다는 것은 겹치는 값과 문제가 처음 준 값을 모두 버린다는 뜻이다.
5.OA.A.1 거듭제곱으로 이어진 네 수의 탑을 괄호로 묶는 방법은 정확히 다섯 가지다. 모두 적으면: $2^{\left(2^{\left(2^{2}\right 6.EE.A.1 각 묶음을 가장 안쪽 괄호부터 시작해 계산한다. 묶음 1: $2^{2}=4$, 다음 $2^{4}=16$, 다음 $2^{16}=65536$. 묶음 5.OA.A.1 다섯 결과는 $65536,\,65536,\,256,\,256,\,256$이므로, 서로 다른 값은 $65536$과 $256$ 둘뿐이다. $6553 검토
합리성 확인: 탑을 괄호로 묶는 방법은 다섯 가지뿐이고 그중 하나가 주어진 식이므로, 다른 값은 많아야 $4$개까지만 존재할 수 있다 — 개수는 $0$과 $4$ 사이여야 하고, 이는 선택지 범위와 맞는다. $256\neq 65536$이 실제로 다른 값이 나타남을 보여 주므로 $0$일 수는 없다. 새로운 값이 정확히 하나라는 것은 그럴듯하다: $2$의 탑은 두 크기로만 줄어들기 때문이다 — $16$이 지수 자리로 올라가면 거대한 $2^{16}=65536$, 마지막 단계가 제곱이면 적당한 $256$. 두 크기에서 원래 값을 빼면 하나가 남는다.
대안 접근: 다섯 가지를 모두 나열하는 대신 가장 바깥 단계로 따져 본다. 마지막 연산은 $2^{(\text{3층 탑})}$ 아니면 $(\text{3층 탑})^{2}$ 둘 중 하나다. $2$의 3층 탑은 모두 $16$과 같으므로, 첫 번째 모양은 항상 $2^{16}=65536$을, 두 번째 모양은 항상 $16^{2}=256$을 준다. 이 두 모양만 존재하므로, 주어진 $65536$ 말고는 정확히 다른 값 하나가 있고, (B)가 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.OA.A.1Use parentheses, brackets, or braces in numerical expressions and evaluate (탑을 괄호로 묶는 다섯 가지 방법을 나열하고, 괄호 위치가 바로 값을 바꾸는 요소임을 이해한 뒤 겹치는 값과 원래 값을 지우는 데 사용.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (각 묶음을 가장 안쪽 괄호부터 바깥으로 한 번에 한 거듭제곱씩 계산: $2^{2}=4$, $4^{2}=16$, $2^{4}=16$, $16^{2}=256$, $2^{16}=65536$.)
⭐ 괄호가 지수 계산의 순서를 정하고, 2 네 개짜리 탑은 65536 아니면 256, 두 크기로만 줄어들기 때문에 주어진 값 말고는 다른 값이 딱 하나뿐이다.
⭐ 괄호가 지수 계산의 순서를 정하고, 2 네 개짜리 탑은 65536 아니면 256, 두 크기로만 줄어들기 때문에 주어진 값 말고는 다른 값이 딱 하나뿐이다.
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