AMC 10 · 2002 · #10

학년 8 algebra

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$a$ 와 $b$ 가 $0$ 이 아닌 실수이고, 방정식 $x^2 + ax + b = 0$ 의 두 해가 $a$ 와 $b$ 라고 하자. 그러면 순서쌍 $(a,b)$ 는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ (-2,1)$

(B)

$\ (-1,2)$

(C)

$\ (1,-2)$

(D)

$\ (2,-1)$

(E)

$\ (4,4)$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $x^2 + ax + b = 0$ 은 두 수 $a$ 와 $b$ 로 만들어졌는데, 그 두 해가 바로 그 수 $a$ 와 $b$ 자신이다. $a$ 와 $b$ 는 모두 $0$ 이 아니다. 이렇게 되게 하는 순서쌍 $(a,b)$ 를 구하라.

주어진 것: $a$ 와 $b$ 는 $0$ 이 아닌 실수이다; 이차방정식은 $x^2 + ax + b = 0$ 이다; 이 방정식의 두 해가 바로 $a$ 와 $b$ 자신이다; 선택지: (A) $(-2,1)$, (B) $(-1,2)$, (C) $(1,-2)$, (D) $(2,-1)$, (E) $(4,4)$

구하는 것: $a$ 와 $b$ 의 값, 즉 순서쌍 $(a,b)$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

'근이 $a$ 와 $b$ 이다' 라는 문장 전체가 말로 된 사실이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 이것을 기호로 옮긴다. 이차식을 인수분해 꼴로 다시 세우고 $x^2+ax+b$ 와 항별로 맞추면 $a$ 와 $b$ 를 잇는 두 방정식이 나온다. 이어서 한 방정식이 두 갈래로 갈릴 때 도구 #3(가능성 지우기)이 '$0$ 이 아니다' 라는 규칙으로 엉뚱한 갈래를 지운다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 찾은 순서쌍을 다시 대입해 근을 읽어 확인해 준다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

근으로 이차식을 다시 세우기

두 해가 $a$ 와 $b$ 인 이차식은 그 근으로부터 곧바로 세울 수 있다: $x^2+ax+b = (x-a)(x-b)$.
오른쪽을 전개하면 $(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab$ 가 된다.
이제 똑같은 이차식이 두 가지 방식으로 동시에 적혀 있다.

$$x^2+ax+b=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$$

💡 포물선이 $0$ 이 되는 지점을 알면 '$x-\text{근}$' 조각들을 곱해 방정식을 다시 세울 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 2

같은 항끼리 맞추기

같은 이차식을 두 가지로 쓴 것은 항별로 일치해야 한다.
$x$ 의 계수를 맞추면 $a = -(a+b)$ 가, 상수항을 맞추면 $b = ab$ 가 나온다.
그래서 근에 관한 한 문장이 $a$ 와 $b$ 에 관한 두 방정식이 되었다: $a = -(a+b)$ 와 $b = ab$.

$$a=-(a+b)\quad\text{그리고}\quad b=ab$$

💡 두 식이 모든 $x$ 에서 같다면, 각 거듭제곱 앞의 수가 서로 같아야 한다.

#3 가능성 지우기 8.EE.C.7 단계 3

상수 방정식에 '$0$ 이 아니다' 규칙 적용하기

$b = ab$ 를 보자.
모두 한쪽으로 옮기면 $ab - b = 0$, 인수분해하면 $b(a-1)=0$ 이다.
이는 $b=0$ 또는 $a=1$ 을 뜻할 수 있다.
하지만 문제는 $b$ 가 $0$ 이 아니라고 약속했으므로 $b=0$ 갈래는 지워지고 $a = 1$ 만 남는다.

$$b=ab\Rightarrow ab-b=0\Rightarrow b(a-1)=0\Rightarrow a=1\ (b\neq0\ \text{이므로})$$

💡 곱이 $0$ 이 되려면 한 인수가 $0$ 이어야 하고, '$0$ 이 아니다' 라는 약속이 어느 인수여야 하는지 알려 준다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

b 를 구하고 순서쌍 읽기

$a=1$ 을 첫 방정식 $a = -(a+b)$ 에 넣으면 $1 = -(1+b)$, 즉 $1 = -1 - b$ 가 되어 $b = -2$ 를 얻는다.
순서쌍은 $(a,b)=(1,-2)$ 이며, 이는 선택지 (C) 이다.

$$1=-(1+b)\Rightarrow 1=-1-b\Rightarrow b=-2\Rightarrow (a,b)=(1,-2)\ \textbf{(C)}$$

💡 한 미지수가 정해지면 남은 방정식이 나머지 하나를 한 단계로 넘겨 준다.

[1] #13 6.EE.A.3 두 해가 $a$ 와 $b$ 인 이차식은 그 근으로부터 곧바로 세울 수 있다: $x^2+ax+b = (x-a)(x-b)$. 오른쪽을 전개하면 $(

[2] #13 8.EE.C.8 같은 이차식을 두 가지로 쓴 것은 항별로 일치해야 한다. $x$ 의 계수를 맞추면 $a = -(a+b)$ 가, 상수항을 맞추면 $b = ab$

[3] #3 8.EE.C.7 $b = ab$ 를 보자. 모두 한쪽으로 옮기면 $ab - b = 0$, 인수분해하면 $b(a-1)=0$ 이다. 이는 $b=0$ 또는 $a=1$

[4] #13 8.EE.C.7 $a=1$ 을 첫 방정식 $a = -(a+b)$ 에 넣으면 $1 = -(1+b)$, 즉 $1 = -1 - b$ 가 되어 $b = -2$ 를 얻는

검토

합리성 확인: 방정식을 다시 세워 순서쌍을 확인하자: $a=1$, $b=-2$ 이면 $x^2+x-2=0$ 이고, 이는 $(x-1)(x+2)=0$ 으로 인수분해되어 근이 $1$ 과 $-2$ 다 — 정확히 $a$ 와 $b$ 이며, 요구대로 둘 다 $0$ 이 아니다. 참고로 대수적으로는 $a=b=-\tfrac12$ 도 가능하지만 이 순서쌍은 선택지에 없으므로, 다섯 보기 중에서는 $(1,-2)$ 만 살아남는다.

대안 접근: 인수분해를 건너뛰고 비에타 지름길을 쓸 수도 있다: $x^2+ax+b=0$ 의 두 근은 합이 $-a$, 곱이 $b$ 다. 근이 $a$ 와 $b$ 이므로 $a+b=-a$ (즉 $2a+b=0$) 와 $ab=b$ (즉 $b\neq0$ 이므로 $a=1$) 이 되고, 따라서 $b=-2$ 다. 더 빠르게는 다섯 선택지를 그냥 대입해 보면 된다 — 자기 계수를 근으로 갖는 방정식 $x^2+x-2=0$ 을 만드는 것은 $(1,-2)$ 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 ($(x-a)(x-b)$ 를 $x^2-(a+b)x+ab$ 로 전개하여, 다시 세운 이차식을 $x^2+ax+b$ 와 나란히 맞출 수 있게 함.)
8.EE.C.8 연립방정식을 분석하고 푼다 (계수를 맞춰 근 조건을 연립방정식으로 읽음 — 미지수 $a$, $b$ 에 대한 두 방정식 $a=-(a+b)$ 와 $b=ab$.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 ($b(a-1)=0$ 을 풀어 $a=1$ 을 ($b\neq0$ 이용) 얻고, 이어서 $1=-(1+b)$ 를 풀어 $b=-2$ 를 얻음.)

⭐ 이차식의 근이 곧 그 계수라면, $(x-a)(x-b)$ 로 다시 세워 $x^2+ax+b$ 와 조각을 맞추고, '$0$ 이 아니다' 규칙으로 진짜 답을 골라내라.