AMC 10 · 2002 · #10

학년 8 algebra
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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
방정식 x² + ax + b = 0은 두 수 a와 b로 만들어졌는데, 그 두 해가 바로 그 수 a와 b 자신이다. a와 b는 모두 0이 아니다. 이렇게 되게 하는 순서쌍 (a,b)를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ (-2,1)$
(B)
$\ (-1,2)$
(C)
$\ (1,-2)$
(D)
$\ (2,-1)$
(E)
$\ (4,4)$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

'근이 a 와 b 이다' 라는 문장 전체가 말로 된 사실이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 이것을 기호로 옮긴다. 이차식을 인수분해 꼴로 다시 세우고 x²+ax+b 와 항별로 맞추면 a 와 b 를 잇는 두 방정식이 나온다. 이어서 한 방정식이 두 갈래로 갈릴 때 도구 #3(가능성 지우기)이 '0이 아니다' 라는 규칙으로 엉뚱한 갈래를 지운다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 찾은 순서쌍을 다시 대입해 근을 읽어 확인해 준다.

1STEP 1

근으로 이차식을 다시 세우기

근이 a와 b이니 x²+ax+b = (x-a)(x-b) = x² - (a+b)x + ab, 같은 식을 두 꼴로 쓴 셈이다.

x²+ax+b=(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab
2STEP 2

같은 항끼리 맞추기

두 꼴은 항별로 일치해야 한다. x 계수에서 a = -(a+b), 상수항에서 b = ab가 나온다.

a=-(a+b) 그리고 b=ab
3STEP 3

상수 방정식에 '0이 아니다' 규칙 적용하기

b = ab를 옮겨 인수분해하면 b(a-1)=0. b는 0이 아니라 했으니 그 갈래는 지워지고 a = 1만 남는다.

b=ab→ ab-b=0→ b(a-1)=0→ a=1 (b ≠ 0 이므로)
4STEP 4

b 를 구하고 순서쌍 읽기

a=1을 a = -(a+b)에 넣으면 1 = -1 - b, 즉 b = -2이므로 순서쌍은 (1,-2), 선택지 (C)다.

1=-(1+b)→ 1=-1-b→ b=-2→ (a,b)=(1,-2) (C)
정답
(1,-2)
방정식을 다시 세워 순서쌍을 확인하자: a=1, b=-2이면 x²+x-2=0이고, 이는 (x-1)(x+2)=0으로 인수분해되어 근이 1과 -2 다 — 정확히 a 와 b 이며, 요구대로 둘 다 0이 아니다. 참고로 대수적으로는 a=b=-1/2도 가능하지만 이 순서쌍은 선택지에 없으므로, 다섯 보기 중에서는 (1,-2) 만 살아남는다.
💡핵심 정리

이차식의 근이 곧 그 계수라면, (x-a)(x-b)로 다시 세워 x²+ax+b 와 조각을 맞추고, '0이 아니다' 규칙으로 진짜 답을 골라내라.

  • 근으로 이차식을 다시 세우기
  • 같은 항끼리 맞추기
  • 상수 방정식에 '0이 아니다' 규칙 적용하기
  • b 를 구하고 순서쌍 읽기

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