AMC 10 · 2002 · #13

학년 8 arithmetic

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polynomial-factoringlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 문자 x와 y가 섞인 방정식 8xy - 12y + 2x - 3 = 0이 하나 있다. y가 어떤 수이든 상관없이 이 방정식이 성립하게 만드는 x의 값(들)을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac23$

(B)

$\frac32 \text{ or } -\frac14$

(C)

$-\frac23 \text{ or } -\frac14$

(D)

$\frac32$

(E)

$-\frac32 \text{ or } -\frac14$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

x 항과 y 항이 뒤섞여 있어 방정식이 엉켜 보인다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 변할 수 있는 문자 y 를 기준으로 다시 정렬해, 모든 항을 '어떤 수 곱하기 y' 더하기 '남은 수' 로 모은다. 그렇게 정리하고 나면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '모든 y 에 대해 참' 이라는 말을 엄격한 조건으로 읽는다: y 에 곱해진 수가 0 이어야 하고 남은 수도 0 이어야 하며, 이것이 x 에 대한 작은 방정식 두 개가 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 수단이다 — 객관식이므로 서로 다른 두 y 값에 대해 방정식이 균형을 유지하는 선택지를 시험해 참인 x 를 찾을 수도 있다.

1STEP 1

y 를 기준으로 항 정렬하기

y를 가진 두 항을 묶으면 8xy - 12y = (8x - 12)y이므로 좌변은 (8x - 12)y + (2x - 3)이 된다.

8xy - 12y + 2x - 3 = (8x - 12) y + (2x - 3)

2STEP 2

'모든 y 에 대해 참' 이 요구하는 것 읽기

y에 대한 일차식이 모든 y에서 0이려면 평평하면서 이미 0이어야 하니, 8x - 12 = 0이고 2x - 3 = 0이다.

(8x - 12) y + (2x - 3) = 0 (모든 y) → 8x - 12 = 0 그리고 2x - 3 = 0

3STEP 3

풀고 두 조건이 일치하는지 확인하기

8x = 12에서도 2x = 3에서도 x = 3/2이 나오고 값은 하나뿐이므로 답은 (D)다.

8x - 12 = 0 → x = 3/2; 2x - 3 = 0 → x = 3/2 → x = 3/2 (D)

정답

3/2

x = 3/2를 다시 넣어 보자: 8(3/2)y - 12y + 2(3/2) - 3 = 12y - 12y + 3 - 3 = 0이고, 이는 y 가 무엇이든 0이다 — 문제가 원한 바로 그것이다. -1/4 같은 두 번째 값을 제시하는 선택지 (B, C, E)는 함정이다: 3/2 외의 어떤 단일 x 도 y 항과 상수항을 동시에 없앨 수 없으므로 그 추가 값들은 실패한다. 오직 값 하나 3/2인 (D)만 성립한다.

💡핵심 정리

변하는 문자의 모든 값에 대해 방정식이 성립하게 하려면, 그 문자를 기준으로 항을 정렬하고 그것에 곱해진 것과 남은 것을 모두 0으로 만들어라.

y 를 기준으로 항 정렬하기
'모든 y 에 대해 참' 이 요구하는 것 읽기
풀고 두 조건이 일치하는지 확인하기

y 를 기준으로 항 정렬하기

'모든 y 에 대해 참' 이 요구하는 것 읽기

풀고 두 조건이 일치하는지 확인하기

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