AMC 10 · 2002 · #13

학년 8 arithmetic

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polynomial-factoringlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$y$ 의 모든 값에 대해 $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ 이 성립하게 하는 $x$ 의 값(들)을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac23$

(B)

$\frac32 \text{ or } -\frac14$

(C)

$-\frac23 \text{ or } -\frac14$

(D)

$\frac32$

(E)

$-\frac32 \text{ or } -\frac14$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 문자 $x$ 와 $y$ 가 섞인 방정식 $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ 이 하나 있다. $y$ 가 어떤 수이든 상관없이 이 방정식이 성립하게 만드는 $x$ 의 값(들)을 구하라.

주어진 것: 방정식 $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$; 이 방정식은 $y$ 의 모든 값에 대해 성립해야 한다; 선택지: (A) $\frac23$, (B) $\frac32$ 또는 $-\frac14$, (C) $-\frac23$ 또는 $-\frac14$, (D) $\frac32$, (E) $-\frac32$ 또는 $-\frac14$

구하는 것: 모든 $y$ 에 대해 방정식이 참이 되는 $x$ 의 값(들)

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

$x$ 항과 $y$ 항이 뒤섞여 있어 방정식이 엉켜 보인다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 변할 수 있는 문자 $y$ 를 기준으로 다시 정렬해, 모든 항을 '어떤 수 곱하기 $y$' 더하기 '남은 수' 로 모은다. 그렇게 정리하고 나면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '모든 $y$ 에 대해 참' 이라는 말을 엄격한 조건으로 읽는다: $y$ 에 곱해진 수가 $0$ 이어야 하고 남은 수도 $0$ 이어야 하며, 이것이 $x$ 에 대한 작은 방정식 두 개가 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 보조 수단이다 — 객관식이므로 서로 다른 두 $y$ 값에 대해 방정식이 균형을 유지하는 선택지를 시험해 참인 $x$ 를 찾을 수도 있다.

실행 — 정답: D

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

y 를 기준으로 항 정렬하기

$y$ 를 가진 두 항과 갖지 않은 두 항을 나눠 모은다.
$8xy - 12y + 2x - 3$ 에서 $y$ 항은 $8xy$ 와 $-12y$ 이고, 나머지는 $2x$ 와 $-3$ 이다.
앞의 두 항에서 $y$ 를 묶어내면 $8xy - 12y = (8x - 12)y$ 다.
그래서 좌변 전체가 $(8x - 12)y + (2x - 3)$ 이 된다.
정리 방식만 바꿨을 뿐 식은 그대로다 — 이제 '어떤 수 곱하기 $y$' 더하기 '순수한 수' 꼴이 되었다.

$$8xy - 12y + 2x - 3 = (8x - 12)\,y + (2x - 3)$$

💡 모든 $y$ 를 한 묶음으로 모으면 지저분한 혼합식이 '기울기 곱하기 $y$ 더하기 상수' 라는 단순한 꼴로 바뀐다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 2

'모든 y 에 대해 참' 이 요구하는 것 읽기

$(8x - 12)y + (2x - 3) = 0$ 이 모든 $y$ 에 대해 성립해야 한다.
좌변을 $y$ 에 따라 변하는 것으로 보면, 기울기가 $8x - 12$ 이고 출발값이 $2x - 3$ 인 $y$ 에 대한 일차식이다.
일차식이 모든 $y$ 에서 $0$ 에 붙어 있으려면 평평하면서 동시에 이미 $0$ 에 놓여 있어야 한다.
이는 두 조건을 한꺼번에 강제한다: 기울기가 사라져 $8x - 12 = 0$, 그리고 출발값이 사라져 $2x - 3 = 0$.

$$(8x - 12)\,y + (2x - 3) = 0\ \text{(모든 }y\text{)} \;\Rightarrow\; 8x - 12 = 0 \ \text{그리고}\ 2x - 3 = 0$$

💡 어떤 항에 아직 $y$ 가 남아 있으면 $y$ 를 바꿀 때 균형이 무너진다 — 모든 $y$ 에 안전하려면 그 항을 아예 지우는 수밖에 없다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

풀고 두 조건이 일치하는지 확인하기

각 조건을 푼다.
$8x - 12 = 0$ 에서 $8x = 12$, 즉 $x = \frac{12}{8} = \frac32$.
$2x - 3 = 0$ 에서 $2x = 3$, 즉 $x = \frac32$.
두 요구가 정확히 같은 값을 가리키므로, $x = \frac32$ 는 모든 $y$ 에 대해 방정식을 정말로 $0$ 으로 만든다.
답은 하나뿐인 $x = \frac32$ 이며, 이는 선택지 (D) 다.

$$8x - 12 = 0 \Rightarrow x = \tfrac32; \quad 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \tfrac32 \;\Rightarrow\; x = \tfrac32\ \textbf{(D)}$$

💡 서로 독립인 두 조건이 같은 수에 도달하면 그 수가 답으로 확정된다.

[1] #15 6.EE.A.3 $y$ 를 가진 두 항과 갖지 않은 두 항을 나눠 모은다. $8xy - 12y + 2x - 3$ 에서 $y$ 항은 $8xy$ 와 $-12y$ 이

[2] #13 8.EE.C.7 $(8x - 12)y + (2x - 3) = 0$ 이 모든 $y$ 에 대해 성립해야 한다. 좌변을 $y$ 에 따라 변하는 것으로 보면, 기울기가

[3] #13 8.EE.C.7 각 조건을 푼다. $8x - 12 = 0$ 에서 $8x = 12$, 즉 $x = \frac{12}{8} = \frac32$. $2x - 3 =

검토

합리성 확인: $x = \frac32$ 를 다시 넣어 보자: $8(\frac32)y - 12y + 2(\frac32) - 3 = 12y - 12y + 3 - 3 = 0$ 이고, 이는 $y$ 가 무엇이든 $0$ 이다 — 문제가 원한 바로 그것이다. $-\frac14$ 같은 두 번째 값을 제시하는 선택지 (B, C, E) 는 함정이다: $\frac32$ 외의 어떤 단일 $x$ 도 $y$ 항과 상수항을 동시에 없앨 수 없으므로 그 추가 값들은 실패한다. 오직 값 하나 $\frac32$ 인 (D) 만 성립한다.

대안 접근: 먼저 인수분해할 수도 있다. $8xy - 12y = 4y(2x - 3)$ 이고 $2x - 3 = 1\cdot(2x-3)$ 이므로 좌변 전체가 $(2x - 3)(4y + 1)$ 로 인수분해된다. $(2x - 3)(4y + 1)$ 이 모든 $y$ 에 대해 $0$ 이 되려면, $4y + 1$ 은 $y$ 에 따라 변하므로 $0$ 이라고 믿을 수 없고, 따라서 다른 인수가 $0$ 이어야 한다: $2x - 3 = 0$, 즉 $x = \frac32$. 아니면 순수한 시험으로 $y = 0$ 과 $y = 1$ 두 값을 잡으면, $y=0$ 은 $2x - 3 = 0$ 을, $y=1$ 은 $8x - 12 + 2x - 3 = 10x - 15 = 0$ 을 요구하는데 둘 다 $x = \frac32$ 를 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 ($8xy - 12y + 2x - 3$ 을 다시 묶고 앞 두 항에서 $y$ 를 인수분해하여 $(8x-12)y + (2x-3)$ 으로 쓰는 데 사용.)
8.EE.C.7 해가 하나, 무수히 많음, 또는 없음인 경우를 포함한 일변수 일차방정식 풀기 ('모든 $y$ 에 대해 참'을 두 조건 $8x-12=0$ 과 $2x-3=0$ 으로 읽고, 각각을 풀어 $x=\frac32$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 변하는 문자의 모든 값에 대해 방정식이 성립하게 하려면, 그 문자를 기준으로 항을 정렬하고 그것에 곱해진 것과 남은 것을 모두 $0$ 으로 만들어라.