AMC 10 · 2002 · #15

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-numbersparitydivisibility-rules casework ↑ 선수 지식: prime-numbersparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

양의 정수 $A,\ B,\ A-B,\ A+B$ 가 모두 소수이다. 이 네 소수의 합은 어떠한가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \mathrm{even}$

(B)

$\ \mathrm{divisible\ by\ }3$

(C)

$\ \mathrm{divisible\ by\ }5$

(D)

$\ \mathrm{divisible\ by\ }7$

(E)

$\ \mathrm{prime}$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 개의 양의 정수 A, B, 차 A 빼기 B, 합 A 더하기 B가 모두 동시에 소수이다. 이 네 소수의 합에 대해 항상 성립하는 성질이 무엇인지 정해야 한다.

주어진 것: A와 B는 소수이다; A - B는 소수이다 (따라서 A > B); A + B는 소수이다

구하는 것: 모든 유효한 A, B에 대해 네 소수의 합 A + B + (A - B) + (A + B) = 3A + B가 반드시 만족하는 공통 성질

이해

주어진 것: A와 B는 소수이다; A - B는 소수이다 (따라서 A > B); A + B는 소수이다

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리

홀짝(패리티)과 단 하나뿐인 짝수 소수 때문에 값이 아주 강하게 제한되어, 살아남는 값의 조합은 오직 하나뿐이다. 그래서 홀짝과 나누어떨어짐으로 경우를 지워 나가 A와 B의 답이 하나만 남게 한 뒤, 그 합을 읽어 내는 것이 좋은 방법이다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 2.OA.C.3 단계 1

네 소수의 이름 붙이기

네 소수를 그대로 적는다: A, B, A - B, A + B.
A - B가 양의 소수여야 하므로 A는 B보다 크다.
A - B와 A + B는 서로 2B만큼 차이가 나고, 둘을 더하면 2A가 됨에 주목한다.

$$A,\ B,\ A-B,\ A+B \quad\text{all prime},\quad (A-B)+(A+B)=2A$$

💡 네 대상과 그들의 관계를 종이에 적어 두면 숨어 있던 홀짝 단서가 눈에 보인다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 2

둘 다 홀수는 불가능

A와 B가 둘 다 홀수라고 하자.
그러면 A - B와 A + B는 둘 다 짝수가 된다.
그런데 짝수 소수는 2뿐이고, A - B와 A + B는 2B(적어도 4)만큼 차이가 나므로 둘이 동시에 2일 수는 없다.
따라서 A와 B가 둘 다 홀수일 수는 없고, 둘 중 하나는 짝수 소수 2여야 한다.

$$\text{odd}-\text{odd}=\text{even},\quad \text{even prime}=2\ \text{only}$$

💡 홀수 빼기 홀수는 짝수이고 짝수 소수는 2뿐이므로, 큰 짝수 소수 두 개가 동시에 존재할 수는 없다.

#14 극단의 원리 4.OA.B.4 단계 3

어느 것이 2인지 정하기

A, B 중 하나가 2이다.
그런데 A는 2가 될 수 없다.
A = 2이면 A - B = 2 - B가 어떤 소수 B에 대해서도 0 이하가 되어 양의 소수가 아니기 때문이다.
따라서 B = 2이다.

$$A=2 \Rightarrow A-B=2-B\le 0\ (\text{not prime}) \Rightarrow B=2$$

💡 2에서 빼면 소수 아래로 떨어지므로, 2가 될 수 있는 것은 더 작은 수뿐이다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

3으로 나누어떨어짐 이용하기

B = 2이면 소수 A - 2, A, A + 2는 서로 2씩 떨어진 세 수이다.
3으로 나눈 나머지를 보면 이 세 수는 나머지 0, 1, 2를 모두 덮는다.
그래서 정확히 하나가 3의 배수이다.
3의 배수인 소수는 3 자신뿐이고, 셋 중 가장 작은 것이 A - 2이므로 A - 2 = 3, 즉 A = 5이다.

$$A-2,\ A,\ A+2 \pmod 3 = \{0,1,2\} \Rightarrow 3\mid(A-2) \Rightarrow A-2=3 \Rightarrow A=5$$

💡 2씩 떨어진 세 수는 항상 3으로 나눈 모든 나머지를 만들어 내므로, 하나는 반드시 소수 3이 된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

더한 뒤 성질 고르기

따라서 A = 5, B = 2, A - B = 3, A + B = 7로 모두 소수이다.
그 합은 5 + 2 + 3 + 7 = 17이다.
이제 보기를 확인한다: 17은 홀수(A 제외), 3, 5, 7로 나누어떨어지지 않는다(B, C, D 제외).
그러나 17 자체가 소수이다.
그래서 합은 소수이고 답은 (E)이다.

$$5+2+3+7=17,\quad 17\ \text{is prime}$$

💡 살아남은 소수가 2, 3, 5, 7뿐이면 그 합 17 역시 소수이다.

[1] #4 2.OA.C.3 네 소수를 그대로 적는다: A, B, A - B, A + B. A - B가 양의 소수여야 하므로 A는 B보다 크다. A - B와 A + B는 서

[2] #3 2.OA.C.3 A와 B가 둘 다 홀수라고 하자. 그러면 A - B와 A + B는 둘 다 짝수가 된다. 그런데 짝수 소수는 2뿐이고, A - B와 A + B는

[3] #14 4.OA.B.4 A, B 중 하나가 2이다. 그런데 A는 2가 될 수 없다. A = 2이면 A - B = 2 - B가 어떤 소수 B에 대해서도 0 이하가 되어

[4] #3 4.OA.B.4 B = 2이면 소수 A - 2, A, A + 2는 서로 2씩 떨어진 세 수이다. 3으로 나눈 나머지를 보면 이 세 수는 나머지 0, 1, 2를

[5] #3 4.OA.B.4 따라서 A = 5, B = 2, A - B = 3, A + B = 7로 모두 소수이다. 그 합은 5 + 2 + 3 + 7 = 17이다. 이제 보

검토

합리성 확인: 찾은 값을 직접 확인한다: 5, 2, 3, 7은 각각 소수이고, 5 - 2 = 3도 소수, 5 + 2 = 7도 소수이므로 모든 조건이 성립한다. 합 17은 홀수(보기 A 아님), 3으로 나눈 나머지 2, 5로 나눈 나머지 2, 7로 나눈 나머지 3(보기 B, C, D 아님)이며, 17은 소수이므로 보기 E와 일치한다.

대안 접근: 일반 논증 대신 작은 소수를 직접 탐색해도 된다: A - B, A, A + B, B가 모두 소수이려면 B = 2가 강제되고, A - 2와 A + 2가 모두 소수이면서 A도 소수여야 하므로 A = 5가 거의 즉시 나온다. 2 + 3 + 5 + 7 = 17을 더하면 다시 합이 소수임을 알 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.C.3 Determine whether a group of objects has an odd or even number (홀수 빼기 홀수는 짝수이고 짝수 소수는 2뿐이라는 논리로 한 값을 2로 강제하기)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (3의 배수인 소수는 3이어야 함을 이용하고, 17이 소수인지 확인하기)

⭐ 짝수 소수는 2뿐이라 B는 2여야 하고, 그러면 3으로 나누어떨어짐이 A = 5를 강제하여 소수 2, 3, 5, 7이 나오는데 그 합 17 역시 소수이다.