AMC 10 · 2002 · #16

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

perfect-squaresdivisibility-rulesfactors bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: perfect-squaresdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$\dfrac n{20-n}$ 이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 정수 $n$ 은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 3$

(D)

$\ 4$

(E)

$\ 10$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: n을 (20 빼기 n)으로 나눈 값이 정수의 제곱, 즉 0, 1, 4, 9 같은 완전제곱수가 되도록 하는 정수 n이 몇 개인지 센다.

주어진 것: n은 정수이다; 식은 n / (20 - n)이다; 그 값은 완전제곱수(어떤 정수의 제곱)여야 한다

구하는 것: n / (20 - n)이 완전제곱수가 되도록 하는 정수 n의 개수

이해

문제 재정리: n을 (20 빼기 n)으로 나눈 값이 정수의 제곱, 즉 0, 1, 4, 9 같은 완전제곱수가 되도록 하는 정수 n이 몇 개인지 센다.

주어진 것: n은 정수이다; 식은 n / (20 - n)이다; 그 값은 완전제곱수(어떤 정수의 제곱)여야 한다

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

여러 개의 n을 일일이 대입하는 대신, 제곱에 이름을 붙인다. 분수와 같은 제곱을 갖는 정수를 k라 하자. n에 대해 풀면 문제가 나누어떨어짐 문제로 바뀌고, 그다음 20의 약수를 짧게 나열하면 모든 답이 한꺼번에 나온다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 7.NS.A.2 단계 1

분수가 제곱이 될 수 있는 곳

완전제곱수는 음수가 되지 않으므로 이 분수는 0이거나 양수여야 한다.
따라서 분자 n과 분모 20 - n은 부호가 같아야 한다(또는 n = 0).
n > 20이면 분자는 양수이지만 20 - n은 음수여서 값이 음수가 된다.
n < 0이면 분자는 음수이고 20 - n은 양수여서 다시 음수가 된다.
그리고 n = 20은 허용되지 않는다.
그래서 확인할 가치가 있는 정수는 0부터 19까지뿐이다.

$$\dfrac{n}{20-n}\ge 0 \;\Rightarrow\; 0 \le n \le 19$$

💡 제곱은 음수가 될 수 없으므로 분수의 분자와 분모는 같은 방향을 가리켜야 한다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

제곱에 이름을 붙여 n에 대해 풀기

분수와 같은 제곱을 갖는 정수를 k라 하자.
그러면 k의 제곱이 n을 (20 - n)으로 나눈 값과 같다.
양변에 20 - n을 곱해 분수를 없애고, 모든 n을 한쪽으로 모은다.
그러면 n 곱하기 (1 + k의 제곱)이 20 곱하기 k의 제곱과 같아진다.

$$k^2=\dfrac{n}{20-n} \;\Rightarrow\; n = k^2(20-n) \;\Rightarrow\; n(1+k^2)=20k^2$$

💡 제곱에 k라는 이름을 붙이면 분수를 n에 대한 깔끔한 방정식으로 정리할 수 있다.

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 3

나누어떨어짐 문제로 바꾸기

n에 대해 푼다: n은 20 곱하기 k의 제곱을 (1 + k의 제곱)으로 나눈 것이다.
분자를 20 곱하기 (1 + k의 제곱) 빼기 20으로 다시 쓰면, n = 20 빼기 20을 (1 + k의 제곱)으로 나눈 것이 된다.
n이 정수가 되려면 1 + k의 제곱이 20을 정확히 나누어야 한다.

$$n=\dfrac{20k^2}{1+k^2}=20-\dfrac{20}{1+k^2} \;\Rightarrow\; (1+k^2)\mid 20$$

💡 나머지를 떼어 내면, 1 + k의 제곱이 20의 약수일 때에만 n이 정수임이 보인다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 4

약수를 나열하고 제곱만 남기기

20의 양의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이다.
1 + k의 제곱을 이들 각각과 같다고 두면 k의 제곱은 0, 1, 3, 4, 9, 19가 된다.
이 중 실제로 정수의 제곱인 것은 0, 1, 4, 9뿐이고, 이는 k = 0, 1, 2, 3을 준다.
값 3과 19는 완전제곱수가 아니므로 버린다.

$$1+k^2\in\{1,2,4,5,10,20\} \Rightarrow k^2\in\{0,1,4,9\} \Rightarrow k=0,1,2,3$$

💡 완전제곱수보다 1만큼 큰 20의 약수만이 실제 정수 k에서 나올 수 있다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

n을 읽어 내고 세기

각 k를 n = 20 빼기 20을 (1 + k의 제곱)으로 나눈 식에 다시 넣는다: k = 0이면 n = 0, k = 1이면 n = 10, k = 2이면 n = 16, k = 3이면 n = 18이다.
각 결과는 0부터 19 사이에 있고, 각 분수는 실제로 제곱이다: 0, 1, 4, 9.
즉 정수 네 개이므로 답은 (D)이다.

$$k=0{:}\;n=0,\; k=1{:}\;n=10,\; k=2{:}\;n=16,\; k=3{:}\;n=18$$

💡 살아남은 각 k가 유효한 n을 하나씩 만들어 내고, 그런 n은 정확히 네 개이다.

[1] #3 7.NS.A.2 완전제곱수는 음수가 되지 않으므로 이 분수는 0이거나 양수여야 한다. 따라서 분자 n과 분모 20 - n은 부호가 같아야 한다(또는 n = 0)

[2] #4 8.EE.C.7 분수와 같은 제곱을 갖는 정수를 k라 하자. 그러면 k의 제곱이 n을 (20 - n)으로 나눈 값과 같다. 양변에 20 - n을 곱해 분수를 없

[3] #4 4.OA.B.4 n에 대해 푼다: n은 20 곱하기 k의 제곱을 (1 + k의 제곱)으로 나눈 것이다. 분자를 20 곱하기 (1 + k의 제곱) 빼기 20으로

[4] #2 6.EE.A.1 20의 양의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20이다. 1 + k의 제곱을 이들 각각과 같다고 두면 k의 제곱은 0, 1, 3, 4, 9,

[5] #3 4.OA.B.4 각 k를 n = 20 빼기 20을 (1 + k의 제곱)으로 나눈 식에 다시 넣는다: k = 0이면 n = 0, k = 1이면 n = 10, k

검토

합리성 확인: 각 값을 직접 확인한다: 0/(20-0)=0=0^2, 10/(20-10)=1=1^2, 16/(20-16)=4=2^2, 18/(20-18)=9=3^2. 넷 모두 완전제곱수이고, 유효한 모든 n은 1 + k의 제곱이 20의 약수가 되게 해야 하므로 0부터 19 사이의 다른 n은 없다. 그래서 정수는 4개이고 보기 (D)와 일치한다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 크기로 생각한다. n이 1부터 9까지일 때 분수는 0과 1 사이여서 0이 되는 경우(오직 n = 0)를 빼면 완전한 제곱이 될 수 없다. n이 10부터 19까지일 때는 직접 확인한다: n = 10, 16, 18이 각각 1, 4, 9를 주고 나머지는 제곱이 아니다. 여기에 n = 0을 더하면 다시 정수 4개이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (분자와 분모의 부호를 이용해 분수가 0 <= n <= 19에서만 음이 아님을 파악하기)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (분수를 없애고 n을 모아 n(1 + k^2) = 20k^2을 얻기)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (1 + k^2이 20을 나누어야 함을 요구하고 20의 약수를 나열하기)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (어떤 k^2 값이 진짜 완전제곱수(0, 1, 4, 9)인지 알아내기)

⭐ 분수를 n = 20 빼기 20/(k의 제곱 + 1)로 다시 쓰면, k의 제곱 + 1이 20의 약수이기만 하면 되는데, 그런 경우는 k = 0, 1, 2, 3뿐이라 n 값이 네 개 나온다.