AMC 10 · 2002 · #16

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

perfect-squaresdivisibility-rulesfactors bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: perfect-squaresdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

n을 (20 빼기 n)으로 나눈 값이 정수의 제곱, 즉 0, 1, 4, 9 같은 완전제곱수가 되도록 하는 정수 n이 몇 개인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 1$

(B)

$\ 2$

(C)

$\ 3$

(D)

$\ 4$

(E)

$\ 10$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

여러 개의 n을 일일이 대입하는 대신, 제곱에 이름을 붙인다. 분수와 같은 제곱을 갖는 정수를 k라 하자. n에 대해 풀면 문제가 나누어떨어짐 문제로 바뀌고, 그다음 20의 약수를 짧게 나열하면 모든 답이 한꺼번에 나온다.

1STEP 1

분수가 제곱이 될 수 있는 곳

제곱은 음수가 아니므로 n과 20 - n의 부호가 같아야 하고, 볼 값은 0부터 19까지뿐이다.

n/(20-n) ≥ 0 → 0 ≤ n ≤ 19

2STEP 2

제곱에 이름을 붙여 n에 대해 풀기

제곱을 k라 하면 k² = n/(20-n)이다. 분모를 없애고 n을 모으면 n(1+k²) = 20k²이다.

k²=n/(20-n) → n = k²(20-n) → n(1+k²)=20k²

3STEP 3

나누어떨어짐 문제로 바꾸기

풀면 n = 20k²/(1+k²) = 20 - 20/(1+k²)이므로, 1+k²이 20의 약수일 때만 n이 정수이다.

n=20k²/(1+k²)=20-20/(1+k²) → (1+k²) ∣ 20

4STEP 4

약수를 나열하고 제곱만 남기기

20의 약수에서 k²은 0, 1, 3, 4, 9, 19이고, 제곱수만 남기면 k = 0, 1, 2, 3이다.

1+k²∈{1,2,4,5,10,20} → k²∈{0,1,4,9} → k=0,1,2,3

5STEP 5

n을 읽어 내고 세기

각 k에서 n = 0, 10, 16, 18이 나오고 분수는 0, 1, 4, 9이므로 정수는 네 개, 답은 (D)이다.

k=0{:} n=0, k=1{:} n=10, k=2{:} n=16, k=3{:} n=18

정답

각 값을 직접 확인한다: 0/(20-0)=0=0², 10/(20-10)=1=1², 16/(20-16)=4=2², 18/(20-18)=9=3². 넷 모두 완전제곱수이고, 유효한 모든 n은 1 + k의 제곱이 20의 약수가 되게 해야 하므로 0부터 19 사이의 다른 n은 없다. 그래서 정수는 4개이고 보기 (D)와 일치한다.

💡핵심 정리

분수를 n = 20 빼기 20/(k의 제곱 + 1)로 다시 쓰면, k의 제곱 + 1이 20의 약수이기만 하면 되는데, 그런 경우는 k = 0, 1, 2, 3뿐이라 n 값이 네 개 나온다.

분수가 제곱이 될 수 있는 곳
제곱에 이름을 붙여 n에 대해 풀기
나누어떨어짐 문제로 바꾸기
약수를 나열하고 제곱만 남기기
n을 읽어 내고 세기

분수가 제곱이 될 수 있는 곳

제곱에 이름을 붙여 n에 대해 풀기

나누어떨어짐 문제로 바꾸기

약수를 나열하고 제곱만 남기기

n을 읽어 내고 세기

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