AMC 10 · 2002 · #18
학년 7 arithmetic평면에 서로 다른 네 개의 원을 그린다. 두 개 이상의 원이 만나는 점은 최대 몇 개인가?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 평면에 서로 다른 네 개의 원을 그린다. 최대한 영리하게 배치할 때, 두 개 이상의 원 위에 동시에 놓이는 점은 최대 몇 개인가?
주어진 것: 원은 정확히 네 개다; 원들은 서로 다르다 (같은 원이 둘 있지는 않다); 두 개 이상의 원이 만나는 점을 센다; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $16$
구하는 것: 네 원을 그리는 모든 방법 중에서 나올 수 있는 교점의 최대 개수
이해
문제 재정리: 평면에 서로 다른 네 개의 원을 그린다. 최대한 영리하게 배치할 때, 두 개 이상의 원 위에 동시에 놓이는 점은 최대 몇 개인가?
주어진 것: 원은 정확히 네 개다; 원들은 서로 다르다 (같은 원이 둘 있지는 않다); 두 개 이상의 원이 만나는 점을 센다; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $12$, (E) $16$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기, #14 극단의 원리
네 원이 한꺼번에 교차하면 얽혀 보이지만, 교점은 결코 세 원 사이에서 생기지 않는다 — 모든 교점은 정확히 한 쌍의 원에 속한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 은 이 사실을 이용해 전체 개수를 쌍별 합으로 나눈다: 전체는 (한 쌍당 점의 수) 곱하기 (쌍의 수) 일 뿐이다. 도구 #1 (그림 그리기) 는 첫째 인수를 확정한다 — 두 원은 최대 두 점에서 만난다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 둘째 인수를 확정한다 — 네 원의 쌍을 조심스럽게 나열해 하나도 빠뜨리거나 중복하지 않는다. 도구 #14 (극단의 원리) 가 논증을 마무리한다: 모든 쌍이 실제로 두 점에서 만나고 세 원이 한 점을 공유하지 않을 때 전체가 최대가 되며, 이 최선의 경우가 실제로 그릴 수 있는지 확인한다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.3 단계 1 두 원은 최대 두 번 만난다
- 두 원을 그리고 하나를 다른 하나를 가로질러 밀어 보자.
- 아예 만나지 않거나 ($0$ 점), 한 점에서 접하거나 ($1$ 점), 서로를 통과할 수 있지만 ($2$ 점) — 서로 다른 두 원을 세 점에서 만나게 할 방법은 없다.
- 따라서 각 쌍의 원은 최대 $2$ 개의 교점을 만든다.
- 전체 합을 최대로 하려면 모든 쌍이 그 최댓값 $2$ 에 도달하기를 바란다.
💡 원은 중심과 반지름만 정하면 고정되므로, 두 원이 서로를 세 번째로 가로지를 만큼 감쌀 수 없다.
4.OA.A.3 단계 2 모든 교점은 한 쌍에 속한다
- 핵심은 이것이다: 교점은 두 원 위에 놓이므로 정확히 한 쌍의 원에 속한다.
- 그러면 전체 교점의 수는 쌍별로 교점을 더한 것에 지나지 않는다.
- 네 원을 한꺼번에 풀 필요 없이, 쉬운 두 수만 알면 된다 — 한 쌍이 만드는 점의 수와, 쌍이 몇 개인지.
💡 지저분한 세기를 쌍마다 하나씩 깔끔한 세기로 쪼개면 얽힘이 단순한 계산으로 바뀐다.
7.SP.C.8 단계 3 원의 쌍을 나열하기
- 원을 $1, 2, 3, 4$ 로 이름 붙이고, 작은 번호를 앞에 두어 중복 없이 모든 쌍을 한 번씩 나열한다: $\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}$.
- 세어 보면 $6$ 개의 쌍이다.
- (이것은 $\binom{4}{2}$ 다: 원 $1$ 은 다른 $3$ 개와, 원 $2$ 는 새로운 $2$ 개와, 원 $3$ 은 새로운 $1$ 개와 짝을 이룬다 — $3+2+1=6$.)
💡 작은 번호를 앞에 두어 순서대로 쌍을 나열하면 각 쌍을 정확히 한 번만 세게 된다.
3.OA.A.1 단계 4 곱한 뒤, 도달 가능한지 확인하기
- $6$ 개의 쌍이 각각 최대 $2$ 점을 만드므로, 전체는 최대 $6 \times 2 = 12$ 이다.
- 이 최댓값은 실제로 도달 가능하다: 모든 쌍이 진짜로 두 번 교차하고 세 원이 한 점을 지나지 않도록 네 원을 그리면 된다 — 예를 들어 중심이 작은 정사각형을 이루는 같은 크기의 원 네 개는 셋이 한 점을 공유하지 않으면서 둘씩 겹친다.
- 낭비되는 것이 없으므로 최댓값은 정확히 $12$ 이고, 이는 선택지 (D) 이다.
💡 모든 쌍을 한계인 두 점까지 밀어붙이고 어떤 교점도 공유로 잃지 않을 때 점이 가장 많아진다.
4.OA.A.3 두 원을 그리고 하나를 다른 하나를 가로질러 밀어 보자. 아예 만나지 않거나 ($0$ 점), 한 점에서 접하거나 ($1$ 점), 서로를 통과할 4.OA.A.3 핵심은 이것이다: 교점은 두 원 위에 놓이므로 정확히 한 쌍의 원에 속한다. 그러면 전체 교점의 수는 쌍별로 교점을 더한 것에 지나지 않는다. 7.SP.C.8 원을 $1, 2, 3, 4$ 로 이름 붙이고, 작은 번호를 앞에 두어 중복 없이 모든 쌍을 한 번씩 나열한다: ${1,2}, {1,3}, 3.OA.A.1 $6$ 개의 쌍이 각각 최대 $2$ 점을 만드므로, 전체는 최대 $6 \times 2 = 12$ 이다. 이 최댓값은 실제로 도달 가능하다: 모든 검토
합리성 확인: 작은 경우로 패턴을 확인하자. 두 원: $1$ 쌍, 최대 $2$ 점. 세 원: $3$ 쌍, 최대 $6$ 점. 네 원: $6$ 쌍, 최대 $12$ 점. 일반적으로 $n$ 개의 원은 $2\binom{n}{2}=n(n-1)$ 점을 주고, $4\times 3 = 12$ 와 일치한다. 답은 $8$ (선택지 A 는 원 하나마다 $2$ 점씩만 세어, 새 원이 앞의 모든 원과 교차한다는 것을 잊은 것이다) 보다 커야 하고, $16$ (선택지 E) 에는 이를 수 없다 — $16$ 이 되려면 어떤 쌍이 두 번보다 많이 교차하거나 점을 공유하고도 손해가 없어야 하는데, 둘 다 불가능하다. 그러므로 $12$ 가 정직한 최댓값이다.
대안 접근: 원을 하나씩 추가해 보자. 첫 원은 아직 교점을 만들지 않는다. 둘째 원은 첫 원과 최대 $2$ 점에서 만난다. 셋째 원은 앞의 두 원과 각각 두 번 교차해 최대 $4$ 점을 더한다. 넷째 원은 앞의 세 원과 각각 두 번 교차해 최대 $6$ 점을 더한다. 합계: $2+4+6 = 12$, 역시 선택지 (D) 이다. 이 누적합을 잘못 더하면 (예: $2+3+4$) 바로 근접 미끼인 $9$ 와 $10$ 이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Represent sample spaces and count outcomes using organized lists, tables, and tree diagrams (네 원의 모든 쌍을 한 번씩 나열하고 그것이 $6$ 개임을 세는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multistep word problems using the four operations (각 쌍의 원이 최대 두 점에서 만나고 전체 개수가 쌍별 합으로 쪼개진다는 추론에 사용.)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups ($2$ 점짜리 쌍 $6$ 개를 곱 $6 \times 2 = 12$ 로 읽는 데 사용.)
⭐ 두 원은 최대 두 번 만나므로, 원의 쌍이 몇 개인지 세어 두 배 하면 된다.
⭐ 두 원은 최대 두 번 만나므로, 원의 쌍이 몇 개인지 세어 두 배 하면 된다.
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