AMC 10 · 2002 · #2

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmetic formula-substitution ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$0$ 이 아닌 세 수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

$D(a,b,c)=\frac{abc}{a+b+c}$

로 정의할 때, $D(2,4,6)$ 의 값을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $D$라는 규칙은 $0$이 아닌 세 수를 받아 $D(a,b,c)=\dfrac{abc}{a+b+c}$를 돌려줍니다. 즉 세 수의 곱을 세 수의 합으로 나눈 값입니다. $D(2,4,6)$의 값을 구하세요.

주어진 것: 정의 $D(a,b,c)=\dfrac{abc}{a+b+c}$; 주어진 입력값 $a=2$, $b=4$, $c=6$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $24$

구하는 것: $D(2,4,6)$이 나타내는 하나의 수

이해

주어진 것: 정의 $D(a,b,c)=\dfrac{abc}{a+b+c}$; 주어진 입력값 $a=2$, $b=4$, $c=6$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $24$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 식은 위쪽의 곱과 아래쪽의 합이라는 서로 독립적인 두 부분으로 만들어진 하나의 분수입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 분자와 분모를 각각 따로 계산한 뒤 나누라고 말합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 숨어 있는 함정을 짚어 줍니다. $24$는 바로 위쪽 곱 $2\cdot4\cdot6$ 그 자체라서, 나누는 것을 잊은 사람은 (E)에 도달합니다. 분모를 계속 눈에 두면 그 함정을 피할 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

입력값을 규칙에 대입하기

문자 $a$, $b$, $c$는 빈칸일 뿐입니다.
주어진 수로 바꿔 넣습니다: $a=2$, $b=4$, $c=6$.
그러면 규칙 $D(a,b,c)=\dfrac{abc}{a+b+c}$은 $D(2,4,6)=\dfrac{2\cdot4\cdot6}{2+4+6}$이 됩니다.

$$D(2,4,6)=\dfrac{2\cdot4\cdot6}{2+4+6}$$

💡 공식은 빈칸 채우기입니다. 각 수를 그 문자 자리에 넣으면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 2

분자(곱) 계산하기

위쪽은 곱 $abc=2\cdot4\cdot6$입니다.
두 개씩 곱합니다: $2\cdot4=8$, 그다음 $8\cdot6=48$.
따라서 분자는 $48$입니다.

$$2\cdot4\cdot6 = 8\cdot6 = 48$$

💡 한 번에 두 수씩 곱하고, 나온 값을 다음 곱셈으로 이어 갑니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 3

분모(합) 계산하기

아래쪽은 합 $a+b+c=2+4+6$입니다.
두 개씩 더합니다: $2+4=6$, 그다음 $6+6=12$.
따라서 분모는 $12$입니다.

$$2+4+6 = 6+6 = 12$$

💡 덧셈도 같은 방식으로, 한 번에 두 수씩 쌓아 갑니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.2 단계 4

위쪽을 아래쪽으로 나누기

이제 분수는 $\dfrac{48}{12}$입니다.
$12\cdot4=48$이므로 $48\div12=4$입니다.
따라서 $D(2,4,6)=4$이고, 이것은 선택지 (C)입니다.
(E)의 $24$는 위쪽 $2\cdot4\cdot6$에서 나눗셈만 빠뜨린 값이라는 점에 주목하세요.
분모를 계속 떠올리면 그 함정을 피할 수 있습니다.

$$\dfrac{48}{12}=4\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 나눗셈은 분자 안에 분모가 몇 번 들어가는지를 묻습니다. $12$가 네 번 들어가면 $48$입니다.

[1] #7 6.EE.A.2 문자 $a$, $b$, $c$는 빈칸일 뿐입니다. 주어진 수로 바꿔 넣습니다: $a=2$, $b=4$, $c=6$. 그러면 규칙 $D(a,b,c

[2] #7 3.OA.C.7 위쪽은 곱 $abc=2\cdot4\cdot6$입니다. 두 개씩 곱합니다: $2\cdot4=8$, 그다음 $8\cdot6=48$. 따라서 분자는

[3] #7 2.NBT.B.5 아래쪽은 합 $a+b+c=2+4+6$입니다. 두 개씩 더합니다: $2+4=6$, 그다음 $6+6=12$. 따라서 분모는 $12$입니다.

[4] #3 6.NS.B.2 이제 분수는 $\dfrac{48}{12}$입니다. $12\cdot4=48$이므로 $48\div12=4$입니다. 따라서 $D(2,4,6)=4$이고

검토

합리성 확인: 빠르게 점검해 봅니다. 분자 $48$은 분모 $12$의 몇 배 정도라서, 답은 아주 큰 수가 아니라 작은 자연수여야 합니다. $4$는 여기에 맞고, (E)의 $24$가 되려면 분모가 $2$여야 하는데 그렇지 않습니다. 또 $48\div12=4$은 $12\cdot4=48$로 깔끔하게 되돌아가 나눗셈이 맞음을 확인해 줍니다. 매력적인 오답 세 개는 각각 작업의 한 부분을 빠뜨린 것입니다: $24$는 나눗셈을 건너뛴 값, $6$은 합 근처의 함정, $1$이나 $2$는 덧셈이나 곱셈을 잘못한 값입니다.

대안 접근: 곱하기 전에 약분합니다. $\dfrac{2\cdot4\cdot6}{2+4+6}=\dfrac{2\cdot4\cdot6}{12}$로 쓰고 $12=2\cdot6$임을 이용하면, 위쪽의 $2$와 $6$이 아래쪽의 $12$와 약분되어 $4$만 남습니다: $\dfrac{2\cdot4\cdot6}{2\cdot6}=4$. 이렇게 하면 큰 곱셈 없이 (C)에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의 $D(a,b,c)=\dfrac{abc}{a+b+c}$을 읽고 $a=2$, $b=4$, $c=6$을 대입하여 값을 구하는 데 사용.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (분자의 곱 $2\cdot4\cdot6=48$을 계산하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (분모의 합 $2+4+6=12$을 계산하는 데 사용.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm (분자를 분모로 나누는 $48\div12=4$에 사용.)

⭐ 공식을 쓸 때는 각 수를 그 문자 자리에 넣고, 나누기 전에 위쪽과 아래쪽을 따로 끝냅니다.