AMC 10 · 2002 · #20
학년 8 arithmetic실수 a, b, c 가 a−7b+8c=4 와 8a+4b−c=7 을 만족한다. 이때 a2−b2+c2 의 값은?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 방정식이 세 수 $a$, $b$, $c$ 를 함께 묶는다: $a - 7b + 8c = 4$ 와 $8a + 4b - c = 7$. 이때 $a^2 - b^2 + c^2$ 의 값을 구하라.
주어진 것: 방정식 $a - 7b + 8c = 4$; 방정식 $8a + 4b - c = 7$; $a$, $b$, $c$ 는 실수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $4$, (D) $7$, (E) $8$
구하는 것: $a^2 - b^2 + c^2$ 의 값
이해
문제 재정리: 두 방정식이 세 수 $a$, $b$, $c$ 를 함께 묶는다: $a - 7b + 8c = 4$ 와 $8a + 4b - c = 7$. 이때 $a^2 - b^2 + c^2$ 의 값을 구하라.
주어진 것: 방정식 $a - 7b + 8c = 4$; 방정식 $8a + 4b - c = 7$; $a$, $b$, $c$ 는 실수이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $4$, (D) $7$, (E) $8$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #6 추측하고 확인하기
문자가 셋인데 방정식이 둘이면 $a$, $b$, $c$ 를 각각 따로 확정할 수는 없지만, 셋 중 하나를 고르고 나면 나머지 둘은 확정하기에 충분하다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 자유를 지렛대로 삼는다: $a$ 를 자유로운 대리값으로 남겨 두고 두 일차방정식을 $b$ 와 $c$ 에 대해 $a$ 로 푼다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)로 목표 식 $a^2 - b^2 + c^2$ 을 영리하게 다시 쓴다 — $c^2 - b^2$ 을 제곱의 차 $(c-b)(c+b)$ 로 묶어 — 그러면 지저분한 분수가 무너지고 남은 $a$ 가 상쇄된다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 안전망이다: 값이 상수로 약속되어 있으므로, 문자 하나에 편리한 값을 대입해도 같은 수가 나와야 하며, 이것이 빠른 확인 역할도 한다.
실행 — 정답: B
8.EE.C.8 단계 1 a 를 써서 b 와 c 풀기
- $a$ 를 이미 아는 대리값으로 두고 두 방정식을 $b$ 와 $c$ 에 대해 푼다.
- 둘째 방정식 $8a + 4b - c = 7$ 에서 $c$ 를 분리하면 $c = 4b - 7 + 8a$.
- 이를 첫째 방정식 $a - 7b + 8c = 4$ 에 대입하면 $a - 7b + 8(4b - 7 + 8a) = 4$, 즉 $a - 7b + 32b - 56 + 64a = 4$, 따라서 $25b + 65a - 56 = 4$ 이고 $25b = 60 - 65a$, 즉 $b = \frac{12 - 13a}{5}$.
- 그러면 $c = 4b - 7 + 8a = \frac{48 - 52a}{5} - 7 + 8a = \frac{48 - 52a - 35 + 40a}{5} = \frac{13 - 12a}{5}$.
💡 세 번째 문자를 자유롭게 놓아두면 두 방정식이 나머지 두 문자를 확정할 수 있다.
6.EE.A.3 단계 2 c 제곱 빼기 b 제곱 묶기
- 목표는 $a^2 - b^2 + c^2 = a^2 + (c^2 - b^2)$ 이다.
- $b$ 와 $c$ 의 못생긴 분수를 따로 제곱하는 대신, 제곱의 차 지름길 $c^2 - b^2 = (c - b)(c + b)$ 를 쓴다.
- $c - b$ 와 $c + b$ 가 깔끔하게 나오기 때문이다.
- 빼면 $c - b = \frac{(13 - 12a) - (12 - 13a)}{5} = \frac{1 + a}{5}$.
- 더하면 $c + b = \frac{(13 - 12a) + (12 - 13a)}{5} = \frac{25 - 25a}{5} = 5(1 - a)$.
💡 제곱의 차는 어려운 제곱 두 번을 쉬운 뺄셈 한 번 곱하기 쉬운 덧셈 한 번으로 바꾼다.
6.EE.A.3 단계 3 곱하고 a 제곱 상쇄하기
- 깔끔한 두 조각을 곱한다: $c^2 - b^2 = (c - b)(c + b) = \frac{1 + a}{5} \cdot 5(1 - a) = (1 + a)(1 - a) = 1 - a^2$.
- 이제 목표 식에 되돌려 넣으면 $a^2 - b^2 + c^2 = a^2 + (c^2 - b^2) = a^2 + (1 - a^2) = 1$.
- $a^2$ 항끼리 서로 지워지므로 자유로운 문자는 흔적을 남기지 않고, 값은 정확히 $1$ 이며 이는 선택지 (B) 다.
💡 자유로운 문자가 남긴 유일한 잔여물이 스스로 상쇄되면, 남는 값은 모든 유효한 $a$, $b$, $c$ 에 대해 같아야 한다.
8.EE.C.8 $a$ 를 이미 아는 대리값으로 두고 두 방정식을 $b$ 와 $c$ 에 대해 푼다. 둘째 방정식 $8a + 4b - c = 7$ 에서 $c$ 를 6.EE.A.3 목표는 $a^2 - b^2 + c^2 = a^2 + (c^2 - b^2)$ 이다. $b$ 와 $c$ 의 못생긴 분수를 따로 제곱하는 대신, 제곱 6.EE.A.3 깔끔한 두 조각을 곱한다: $c^2 - b^2 = (c - b)(c + b) = \frac{1 + a}{5} \cdot 5(1 - a) = (1 검토
합리성 확인: 답은 어떤 유효한 세 값을 고르든 달라지면 안 되므로 하나 시험해 본다. $a = 0$ 이면 방정식은 $-7b + 8c = 4$ 와 $4b - c = 7$ 이 되고, 풀면 $b = \frac{12}{5}$, $c = \frac{13}{5}$ 이며 $a^2 - b^2 + c^2 = 0 - \frac{144}{25} + \frac{169}{25} = \frac{25}{25} = 1$. 하나 더: $c = 0$ 이면 $a - 7b = 4$ 와 $8a + 4b = 7$ 이 되어 $a = \frac{13}{12}$, $b = -\frac{5}{12}$ 로 풀리고, $a^2 - b^2 + c^2 = \frac{169}{144} - \frac{25}{144} + 0 = \frac{144}{144} = 1$. 둘 다 $1$ 에 도달하며 선택지 (B) 와 일치한다.
대안 접근: 값이 상수로 보장되어 있으므로 도구 #6(추측하고 확인하기)을 곧바로 쓴다: 가장 편리한 선택 $a = 0$ 을 잡고, 그에 따른 두 방정식을 풀어 $b = \frac{12}{5}$, $c = \frac{13}{5}$ 를 얻은 뒤 $a^2 - b^2 + c^2 = \frac{169 - 144}{25} = 1$ 을 단번에 계산한다. 이는 일반적인 대수 과정을 통째로 건너뛰는데, 문제 구조가 모든 유효한 세 값에 대해 하나의 답을 강제하기 때문에 정당한 대회 지름길이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.C.8두 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 분석하고 푼다 (연립방정식 $a - 7b + 8c = 4$ 와 $8a + 4b - c = 7$ 을 자유로운 문자 $a$ 에 대해 $b$ 와 $c$ 로 푸는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 ($c^2 - b^2$ 을 $(c - b)(c + b)$ 로 다시 쓰고, 깔끔한 인수들을 곱한 뒤 $a^2$ 항을 상쇄하여 $1$ 에 도달하는 데 사용.)
⭐ 두 방정식이 확정할 수 있는 것보다 더 많은 문자를 공유할 때는, 한 문자를 자유롭게 놓고 나머지를 푼 다음 잔여물이 상쇄되는 것을 지켜보라 — 끝까지 살아남는 값이 처음부터 고정되어 있던 답이다.
⭐ 두 방정식이 확정할 수 있는 것보다 더 많은 문자를 공유할 때는, 한 문자를 자유롭게 놓고 나머지를 푼 다음 잔여물이 상쇄되는 것을 지켜보라 — 끝까지 살아남는 값이 처음부터 고정되어 있던 답이다.
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