AMC 10 · 2002 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$\triangle XOY$ 를 $m\angle XOY = 90^{\circ}$ 인 직각삼각형이라 하자. $M$ 과 $N$ 을 각각 두 변 $OX$ 와 $OY$ 의 중점이라 하자. $XN = 19$ 이고 $YM = 22$ 일 때, $XY$ 를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형 $XOY$에서 직각은 $O$에 있으므로, 두 변(빗변이 아닌 변) $OX$와 $OY$가 직각을 이룬다. 점 $M$은 변 $OX$의 중점이고, 점 $N$은 변 $OY$의 중점이다. 가로지르는 선분 $XN$(먼 꼭짓점 $X$에서 다른 변의 중점까지)의 길이가 $19$이고, $YM$의 길이가 $22$이다. 빗변 $XY$의 길이를 구하여라.

주어진 것: $\triangle XOY$는 $O$에서 직각이므로 $OX \perp OY$이다.; $M$은 $OX$의 중점이고 $N$은 $OY$의 중점이다.; $XN = 19$이고 $YM = 22$이다.

구하는 것: 빗변 $XY$의 길이.

이해

주어진 것: $\triangle XOY$는 $O$에서 직각이므로 $OX \perp OY$이다.; $M$은 $OX$의 중점이고 $N$은 $OY$의 중점이다.; $XN = 19$이고 $YM = 22$이다.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

주어진 두 길이와 정답이 모두 두 변에 의해 정해지므로, 핵심 수는 도구 #4 (변수 도입하기)이다: 두 변을 $p = OX$, $q = OY$로 놓는다. 도구 #1 (그림 그리기)로 보면 $XN$, $YM$, $XY$가 각각 $O$에 직각을 둔 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리가 모든 길이를 $p$와 $q$에 대한 식으로 바꾼다. 영리한 부분은 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이다: $p$와 $q$를 따로 구할 필요가 전혀 없고, 오직 $p^2 + q^2$만 있으면 되며, 두 식을 더하면 그것이 한 번에 나온다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

두 변에 이름 붙이기

$O$에 있는 직각의 두 변을 $p = OX$, $q = OY$라 하자.
$M$이 $OX$의 중점이므로 $OM = \tfrac{p}{2}$이다.
$N$이 $OY$의 중점이므로 $ON = \tfrac{q}{2}$이다.
이제 문제 속 모든 길이가 이 두 글자만으로 표현된다.

$$OX = p,\quad OY = q,\quad OM = \tfrac{p}{2},\quad ON = \tfrac{q}{2}$$

💡 모르는 두 변에 이름을 붙이면 그림 속 모든 길이가 계산할 수 있는 식이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

선분 XN에 피타고라스 적용

삼각형 $XON$을 보자.
직각은 (같은 꼭짓점) $O$에 있고, 한 변은 $OX = p$, 다른 한 변은 $ON = \tfrac{q}{2}$이며, $XN$이 빗변이다.
피타고라스 정리에 의해 $XN^2 = p^2 + \left(\tfrac{q}{2}\right)^2$이다.
$XN = 19$이므로 $p^2 + \tfrac{q^2}{4} = 361$이다.

$$XN^2 = p^2 + \left(\tfrac{q}{2}\right)^2 = 361$$

💡 $X$, $O$, $N$이 $O$에서 직각인 삼각형을 이루므로 $XN$은 그 빗변일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

선분 YM에 피타고라스 적용

이제 삼각형 $YOM$을 보자.
직각은 마찬가지로 $O$에 있고, 한 변은 $OY = q$, 다른 한 변은 $OM = \tfrac{p}{2}$이며, $YM$이 빗변이다.
따라서 $YM^2 = q^2 + \left(\tfrac{p}{2}\right)^2$이다.
$YM = 22$이므로 $q^2 + \tfrac{p^2}{4} = 484$이다.

$$YM^2 = q^2 + \left(\tfrac{p}{2}\right)^2 = 484$$

💡 $O$에 있는 같은 직각 덕분에 $YM$은 두 번째 직각삼각형의 빗변이 된다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 4

두 식을 더하기

두 식을 더한다.
왼쪽에서 $p$ 항은 $p^2 + \tfrac{p^2}{4} = \tfrac{5}{4}p^2$으로 합쳐지고, $q$ 항도 똑같이 $\tfrac{5}{4}q^2$으로 합쳐진다.
오른쪽은 $361 + 484 = 845$이다.
따라서 $\tfrac{5}{4}\left(p^2 + q^2\right) = 845$이다.
양변에 $\tfrac{4}{5}$를 곱하면 $p^2 + q^2 = 676$을 얻는다.
$p$나 $q$를 따로 구하지 않고도 $p^2 + q^2$을 찾았음에 주목하자.

$$\tfrac{5}{4}\left(p^2 + q^2\right) = 845 \;\Rightarrow\; p^2 + q^2 = 676$$

💡 두 식 모두 같은 묶음 $p^2 + q^2$을 감추고 있으므로, 더하면 그 묶음이 바로 빠져나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 5

빗변 XY에 피타고라스 적용

마지막으로 $XY$는 원래 직각삼각형 $XOY$의 빗변이고, 그 두 변은 $p$와 $q$이다.
따라서 $XY^2 = p^2 + q^2 = 676$이므로 $XY = \sqrt{676} = 26$이다.
정답은 (B)이다.

$$XY = \sqrt{p^2 + q^2} = \sqrt{676} = 26$$

💡 두 식이 건네준 바로 그 양 $p^2 + q^2$이 정확히 $XY^2$이다.

[1] #4 6.EE.A.2 $O$에 있는 직각의 두 변을 $p = OX$, $q = OY$라 하자. $M$이 $OX$의 중점이므로 $OM = \tfrac{p}{2}$이다.

[2] #7 8.G.B.7 삼각형 $XON$을 보자. 직각은 (같은 꼭짓점) $O$에 있고, 한 변은 $OX = p$, 다른 한 변은 $ON = \tfrac{q}{2}$이

[3] #7 8.G.B.7 이제 삼각형 $YOM$을 보자. 직각은 마찬가지로 $O$에 있고, 한 변은 $OY = q$, 다른 한 변은 $OM = \tfrac{p}{2}$이

[4] #4 8.EE.C.8 두 식을 더한다. 왼쪽에서 $p$ 항은 $p^2 + \tfrac{p^2}{4} = \tfrac{5}{4}p^2$으로 합쳐지고, $q$ 항도 똑같

[5] #7 8.G.B.7 마지막으로 $XY$는 원래 직각삼각형 $XOY$의 빗변이고, 그 두 변은 $p$와 $q$이다. 따라서 $XY^2 = p^2 + q^2 = 676

검토

합리성 확인: 정답 $26$은 나열된 보기 중 하나이며 그 사이에 자연스럽게 놓인다. 완전한 확인을 위해 두 변을 직접 구해 보자: 두 식을 빼면 $\tfrac{3}{4}\left(p^2 - q^2\right) = 361 - 484 = -123$이므로 $p^2 - q^2 = -164$이다. 이를 $p^2 + q^2 = 676$과 합치면 $p^2 = 256$, $q^2 = 420$, 즉 $p = 16$, $q = \sqrt{420} \approx 20.5$이다. 확인: $XN^2 = 256 + \tfrac{420}{4} = 256 + 105 = 361 = 19^2$이고 $YM^2 = 420 + \tfrac{256}{4} = 420 + 64 = 484 = 22^2$으로 둘 다 맞는다. 그리고 $XY = \sqrt{256 + 420} = \sqrt{676} = 26$이다. 모두 일관된다.

대안 접근: 좌표를 사용하자. $O = (0,0)$, $X = (p,0)$, $Y = (0,q)$로 놓으면 $M = \left(\tfrac{p}{2}, 0\right)$, $N = \left(0, \tfrac{q}{2}\right)$이다. 거리 공식으로 $XN^2 = p^2 + \tfrac{q^2}{4} = 361$, $YM^2 = q^2 + \tfrac{p^2}{4} = 484$ — 같은 두 식이 나오고, $XY^2 = p^2 + q^2$이다. 더하면 여전히 $p^2 + q^2 = 676$이므로 $XY = 26$ (B)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (두 변을 $p$, $q$로 이름 붙이고 중점의 반쪽 길이 $\tfrac{p}{2}$, $\tfrac{q}{2}$를 쓰기 위해.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($XN$, $YM$, $XY$가 각각 $O$에 직각을 둔 직각삼각형의 빗변이므로 이들을 식으로 바꾸기 위해.)
8.EE.C.8 Solve systems of two linear equations by combining them (두 피타고라스 식을 더해 $p^2 + q^2 = 676$을 바로 얻기 위해.)

⭐ 두 피타고라스 식이 모두 같은 $p^2 + q^2$을 감추고 있을 때는, 각 변을 구하는 대신 두 식을 더하라 — 원하는 묶음이 바로 튀어나온다.