AMC 10 · 2002 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

thirty-sixty-ninety-trianglearc-measurerate identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratethirty-sixty-ninety-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

관람차의 승객은 수직 평면 안에서 원을 따라 이동한다. 어떤 관람차는 반지름이 $20$ 피트이고 1분에 정확히 한 바퀴씩 일정한 속도로 회전한다. 승객이 관람차의 맨 아래에서 맨 아래보다 수직으로 $10$ 피트 높은 지점까지 이동하는 데 몇 초가 걸리는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

7.5

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 관람차는 반지름이 $20$피트인 원이고, 1분에 정확히 한 바퀴씩 일정한 속도로 돕니다. 승객이 맨 아래에서 출발할 때, 맨 아래보다 $10$피트 높은 지점에 도달하기까지 몇 초가 걸리는지 구하세요.

주어진 것: 관람차는 반지름이 $20$피트인 원이다; 1분에 한 바퀴씩 일정한 속도로 돈다 (한 바퀴에 $60$초 걸린다); 승객은 관람차의 가장 낮은 지점에서 출발한다; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7.5$, (D) $10$, (E) $15$

구하는 것: 승객이 맨 아래보다 수직으로 $10$피트 높은 지점에 도달하기까지 걸리는 초

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

이 문제는 돌아가는 원과 수직 높이를 섞어 놓았으므로 도구 #1(그림 그리기)이 출발점입니다. 관람차를 원으로 그리고 중심, 맨 아래 지점, 승객을 표시하면 '맨 아래보다 얼마나 높은가'가 직각삼각형 안의 길이로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눕니다 — 먼저 관람차가 돈 각도를 구하고, 그 각도를 시간으로 바꿉니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 승객의 가로 방향 거리를 이름 붙여 피타고라스 정리로 위치를 확정하게 해 줍니다. 마지막으로 도구 #8(단위 살펴보기)이 각도를 초로 옮깁니다. 1분에 한 바퀴라는 일정한 속도에서는 각도의 같은 비율이 곧 $60$초의 같은 비율이기 때문입니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

관람차를 그리고 점을 놓기

관람차를 원으로 그립니다.
반지름이 $20$이므로 중심 $O$는 맨 아래 지점보다 $20$피트 위에 있습니다.
맨 아래 지점을 $B$(높이 $0$), 승객의 목표 지점을 $P$(높이 $10$)라고 합시다.
$OB$와 $OP$는 모두 반지름이므로 $OB = OP = 20$입니다.
$B$를 $(0,0)$에 두는 간단한 좌표를 잡으면 중심은 $O=(0,20)$이고, $P$는 높이 $10$인 원 위 어딘가에 있으므로 가로 거리를 $x$라 하여 $P=(x,10)$입니다.

$$OB = OP = 20,\quad B=(0,0),\quad O=(0,20),\quad P=(x,10)$$

💡 관람차의 중심은 맨 아래보다 정확히 반지름 하나만큼 위에 있어서, '높이'를 잴 수 있는 길이로 바꿔 줍니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 2

승객의 위치 찾기

점 $P=(x,10)$은 원 위에 있으므로 중심 $O=(0,20)$까지의 거리가 반지름 $20$과 같아야 합니다.
가로 차이는 $x$, 세로 차이는 $20-10=10$입니다.
피타고라스 정리에 따라 $x^2 + 10^2 = 20^2$이므로 $x^2 = 400 - 100 = 300$, 즉 $x = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$입니다.
이렇게 승객의 위치가 정확히 정해집니다: $P = (10\sqrt{3},\,10)$.

$$x^2 + 10^2 = 20^2 \;\Rightarrow\; x^2 = 300 \;\Rightarrow\; x = 10\sqrt{3}$$

💡 관람차 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있고, 피타고라스 정리가 그 사실을 정확한 위치로 바꿔 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

돈 각도 재기

이제 맨 아래 $B=(0,0)$에서 승객 $P=(10\sqrt{3},10)$까지의 직선 현의 길이를 잽니다.
그 길이는 $BP = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 10^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20$입니다.
그러면 삼각형 $OBP$의 세 변이 모두 $20$입니다: $OB = OP = BP = 20$.
세 변이 같은 삼각형은 정삼각형이고, 정삼각형의 모든 각은 $60^\circ$입니다.
중심에서의 각 $\angle BOP$가 곧 관람차가 돈 각도이므로, 관람차는 $60^\circ$ 돌았습니다.

$$BP = \sqrt{300+100} = 20 = OB = OP \;\Rightarrow\; \triangle OBP\ \text{정삼각형} \;\Rightarrow\; \angle BOP = 60^\circ$$

💡 현이 반지름과 같은 길이이면 그 조각은 정삼각형이 되어, 중심각은 $60^\circ$가 됩니다.

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.2 단계 4

각도를 초로 바꾸기

한 바퀴는 $360^\circ$이고 일정한 속도에서 $60$초가 걸립니다.
승객은 $60^\circ$를 지나갔는데, 이는 한 바퀴의 $\frac{60}{360} = \frac16$입니다.
속도가 일정하므로 승객은 시간도 $\frac16$만 사용했습니다: $\frac16 \times 60 = 10$초.
답은 (D)입니다.

$$\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac16,\qquad \dfrac16 \times 60\ \text{초} = 10\ \text{초}\ \textbf{(D)}$$

💡 일정한 속도로 돌 때, 돈 원의 비율만큼이 곧 사용한 분의 비율입니다.

[1] #1 7.G.B.4 관람차를 원으로 그립니다. 반지름이 $20$이므로 중심 $O$는 맨 아래 지점보다 $20$피트 위에 있습니다. 맨 아래 지점을 $B$(높이 $0

[2] #4 8.G.B.7 점 $P=(x,10)$은 원 위에 있으므로 중심 $O=(0,20)$까지의 거리가 반지름 $20$과 같아야 합니다. 가로 차이는 $x$, 세로 차

[3] #7 8.G.A.5 이제 맨 아래 $B=(0,0)$에서 승객 $P=(10\sqrt{3},10)$까지의 직선 현의 길이를 잽니다. 그 길이는 $BP = \sqrt{(

[4] #8 7.RP.A.2 한 바퀴는 $360^\circ$이고 일정한 속도에서 $60$초가 걸립니다. 승객은 $60^\circ$를 지나갔는데, 이는 한 바퀴의 $\frac

검토

합리성 확인: 답의 크기를 확인합니다. 관람차의 절반(맨 아래에서 맨 위까지, $40$피트 상승)은 $180^\circ$이고 $30$초가 걸립니다. $10$피트만 올라가는 것은 절반 높이에 훨씬 못 미치므로 시간은 $30$초보다 훨씬 작아야 하고, $10$초가 맞습니다. 함정들도 말이 됩니다: $15$(E)는 사분의 일 바퀴로 승객을 중심 높이인 $20$피트까지 올리므로 $10$피트가 아니고, $5$(A)와 $6$(B)은 $60^\circ$ 회전에 비해 너무 작습니다. 오직 (D) $10$만이 기하가 강제하는 $60^\circ$와 맞습니다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 직각삼각형을 직접 이용할 수도 있습니다. 반지름 $OP$를 긋고 중심의 높이에서 승객의 높이로 수선을 내립니다. 높이 $10$인 승객은 중심(높이 $20$)보다 $10$피트 아래에 있습니다. 그러면 빗변이 반지름 $OP = 20$이고 세로 변이 $10$인 직각삼각형이 생기는데, 세로 변이 빗변의 정확히 절반입니다. 한 변이 빗변의 절반인 직각삼각형은 $30$-$60$-$90$ 삼각형이므로, 반지름은 아래로 향한 수직선과 $60^\circ$를 이룹니다. 이는 같은 $60^\circ$ 회전이므로 1분의 $\frac16$, 즉 $10$초가 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (관람차를 중심이 맨 아래보다 반지름 하나(20피트) 위에 있는 원으로 모델링하여, 모든 테두리 점이 중심에서 20피트 떨어지게 함.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($x^2 + 10^2 = 20^2$을 풀어 높이 10에 있는 승객의 위치를 찾고, 현의 길이 $BP = \sqrt{300+100} = 20$을 계산함.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (삼각형 $OBP$가 정삼각형(모든 변 20)임을 알아채어 중심각 $\angle BOP$가 $60^\circ$여야 함을 밝힘.)
7.RP.A.2 Recognize and represent proportional relationships between quantities ($60^\circ$ 회전(한 바퀴의 $\frac16$)을 60초 주기의 $\frac16$로 바꾸어 10초를 얻음.)

⭐ '얼마나 높은가'를 관람차 중심의 각도로 바꾼 다음, 그 각도를 시간으로 맞바꾸세요 — 원의 같은 비율이 곧 분의 같은 비율입니다.