AMC 10 · 2002 · #6

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

polynomial-factoringprime-numbersparity identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-numberspolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$n^2 - 3n + 2$ 가 소수가 되게 하는 양의 정수 $n$ 은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \text{none}$

(B)

$\ \text{one}$

(C)

$\ \text{two}$

(D)

$\ \text{more\ than\ two,\ but\ finitely\ many}$

(E)

$\ \text{infinitely\ many}$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 식 $n^2 - 3n + 2$ 를 보자. 양의 정수 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 를 하나씩 대입해 결과가 소수가 되는 경우가 몇 번인지 살펴본다. $n^2 - 3n + 2$ 가 소수가 되게 하는 양의 정수 $n$ 이 몇 개인지 세어, 다섯 개의 설명 중 하나와 맞추는 것이 과제다.

주어진 것: 식은 $n^2 - 3n + 2$ 이다; $n$ 은 양의 정수 $1, 2, 3, \ldots$ 를 훑는다; 그 $n$ 에 대해 $n^2 - 3n + 2$ 가 소수일 때만 개수에 포함된다; 선택지는 개수를 설명한다: (A) 없음, (B) 하나, (C) 둘, (D) 둘보다 많지만 유한개, (E) 무한히 많음

구하는 것: $n^2 - 3n + 2$ 가 소수가 되게 하는 양의 정수 $n$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

숫자를 끝없이 대입한다고 해서 '없음', '하나', '무한히 많음' 같은 개수를 증명할 수는 없으니, 단순 대입만으로는 부족하다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 가 열쇠를 준다: 이 이차식은 $(n-1)(n-2)$ 로 인수분해되어, '이것이 소수인가?' 라는 물음을 두 정수의 곱에 관한 물음으로 바꾼다. 소수는 두 자연수의 곱으로 나타날 때 그중 하나가 반드시 $1$ 이어야 하므로, 살펴볼 경우가 몇 가지로 확 줄어든다. 그다음 도구 #6 (추측하고 확인하기) 로 그 몇 개의 $n$ 값만 확인하고, 도구 #3 (가능성 지우기) 로 최종 개수를 다섯 선택지와 맞춘다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

식을 인수분해하기

식 $n^2 - 3n + 2$ 는 사실 곱으로 숨어 있다.
곱하면 $2$, 더하면 $-3$ 이 되는 두 수를 찾으면 $-1$ 과 $-2$ 이고, 따라서 $n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2)$ 이다.
분배법칙으로 전개해 확인하자: $(n-1)(n-2) = n^2 - 2n - n + 2 = n^2 - 3n + 2$ 로 일치한다.
이제 알쏭달쏭한 이차식 대신, 두 조각 $n-1$ 과 $n-2$ 의 깔끔한 곱을 얻었다.

$$n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2)$$

💡 이차식을 곱으로 다시 쓰면 어려운 '소수인가?' 물음이 두 인수에 관한 물음으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

곱이 소수가 되는 조건 묻기

소수는 약수가 정확히 두 개, 곧 $1$ 과 자기 자신뿐이다.
그러므로 두 자연수의 곱이 소수이려면 그중 하나는 반드시 $1$ 이고 나머지가 그 소수여야 한다.
만약 두 인수가 모두 $2$ 이상이면 곱에는 여분의 약수가 생겨 합성수가 되고, 어느 한 인수가 $0$ 이면 곱은 $0$ 이 되어 소수가 아니다.
따라서 $(n-1)(n-2)$ 가 소수가 되려면 더 작은 인수 $n-2$ 가 $1$ 이어야 한다.
그보다 크면 두 인수가 모두 $1$ 을 넘어 곱이 합성수가 된다.

$$(n-1)(n-2)\text{ 가 소수}\ \Rightarrow\ n-2 = 1\ \text{(더 작은 인수가 }1\text{)}$$

💡 소수는 둘 다 $1$ 보다 큰 두 인수로 쪼갤 수 없으므로, 한 인수는 $1$ 로 고정된다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 3

작은 경우 확인하기

인수가 작아지는 양의 정수를 대입해 보자.
$n = 1$: $(1-1)(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$, 소수 아님.
$n = 2$: $(2-1)(2-2) = 1 \cdot 0 = 0$, 소수 아님.
$n = 3$: $(3-1)(3-2) = 2 \cdot 1 = 2$, 그리고 $2$ 는 소수 — 이 경우가 통한다.
이것이 바로 앞 단계에서 찾은 $n-2 = 1$ 인 경우다.

$$n=1:\ 0,\quad n=2:\ 0,\quad n=3:\ 2\times1 = 2\ \text{(소수)}$$

💡 양의 정수에서 인수가 $1$ 이 되는 곳은 $n=3$ 뿐이고, 그때 소수 $2$ 가 나온다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

더 큰 n 을 모두 제외하고 세기

$n \ge 4$ 인 어떤 $n$ 에서도 두 인수는 모두 $2$ 이상이다: $n-2 \ge 2$, $n-1 \ge 3$.
그러면 곱은 $1$ 과 자기 자신 말고도 약수를 갖는 합성수라 결코 소수가 아니다.
따라서 통하는 양의 정수는 $n = 3$ 하나뿐이다 — $n=1$ 과 $n=2$ 는 $0$ 을 주고, $n=4$ 부터는 모두 합성수다.
정확히 한 값만 성립하므로 개수는 하나, 답은 $\textbf{(B)}$ 이다.
이로써 (A) 없음, (C) 둘, (D) 둘보다 많음, (E) 무한히 많음 이 모두 제외된다.

$$n\ge4:\ (n-1)(n-2)\ \text{합성수}\ \Rightarrow\ n=3\ \text{뿐}\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}\ \text{하나}$$

💡 두 인수가 모두 $1$ 을 넘는 순간 곱은 늘 더 쪼개지므로, 큰 $n$ 은 결코 소수가 될 수 없다.

[1] #7 6.EE.A.3 식 $n^2 - 3n + 2$ 는 사실 곱으로 숨어 있다. 곱하면 $2$, 더하면 $-3$ 이 되는 두 수를 찾으면 $-1$ 과 $-2$ 이고,

[2] #7 4.OA.B.4 소수는 약수가 정확히 두 개, 곧 $1$ 과 자기 자신뿐이다. 그러므로 두 자연수의 곱이 소수이려면 그중 하나는 반드시 $1$ 이고 나머지가 그

[3] #6 6.EE.A.2 인수가 작아지는 양의 정수를 대입해 보자. $n = 1$: $(1-1)(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$, 소수 아님. $n = 2$

[4] #3 4.OA.B.4 $n \ge 4$ 인 어떤 $n$ 에서도 두 인수는 모두 $2$ 이상이다: $n-2 \ge 2$, $n-1 \ge 3$. 그러면 곱은 $1$ 과

검토

합리성 확인: 원래 식에 직접 몇 값을 대입해 확인하자: $n=3$ 은 $9-9+2 = 2$ (소수), $n=4$ 는 $16-12+2 = 6 = 2\cdot3$ (합성수), $n=5$ 는 $25-15+2 = 12$ (합성수), $n=1,2$ 는 $0$. 모든 확인이 인수분해 분석과 일치하고, 값은 $n=4$ 이후로 커지기만 하므로 더 멀리 숨은 소수는 없다. 정확히 한 양의 정수 $n=3$ 만 소수를 만들어 개수가 하나임이 확인된다.

대안 접근: 크기 대신 짝홀로 볼 수도 있다. 연속한 두 정수 $n-1$ 과 $n-2$ 중 하나는 짝수이므로 곱 $(n-1)(n-2)$ 는 항상 짝수다. 짝수인 소수는 $2$ 뿐이니, 소수가 되려면 $(n-1)(n-2) = 2$, 곧 $2 \cdot 1$ 이어야 하고 이는 $n = 3$ 에서만 일어난다. 인수를 $1$ 과 비교하는 대신 짝홀 추론으로도 같은 하나의 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($n^2 - 3n + 2$ 를 $(n-1)(n-2)$ 로 인수분해하고 분배법칙으로 전개해 확인하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (소수의 정의로부터 곱이 소수이려면 한 인수가 $1$ 이어야 하고, 두 인수가 모두 $1$ 을 넘으면 합성수가 됨을 논증하는 데 사용.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (작은 경우를 확인하려고 $(n-1)(n-2)$ 를 $n = 1, 2, 3$ 에서 계산하는 데 사용.)

⭐ $(n-1)(n-2)$ 로 인수분해하자: 곱이 소수가 되려면 한 조각이 $1$ 이어야 하고, 그런 양의 정수는 $n=3$ 하나뿐이라 소수 $2$ 가 나온다.