AMC 10 · 2002 · #8
학년 4 arithmetic어느 해 N 의 7월에 월요일이 다섯 번 있다고 하자. 다음 중 그해 8월에 반드시 다섯 번 나타나야 하는 요일은? (단, 7월과 8월 모두 31 일까지 있다.)
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어느 해의 7월에 월요일이 다섯 번 있고, 7월과 8월 모두 31일까지 있다. 달력이 어떻게 놓이든 상관없이 그 8월에 반드시 다섯 번 나타나야 하는 요일 하나를 구하세요.
주어진 것: $N$년의 7월에는 월요일이 다섯 번 있다.; 7월은 $31$일까지 있고 8월도 $31$일까지 있다.; 선택지는 요일이다: (A) 월요일, (B) 화요일, (C) 수요일, (D) 목요일, (E) 금요일.
구하는 것: 8월에 반드시 다섯 번 나타나야 하는 요일 하나.
이해
문제 재정리: 어느 해의 7월에 월요일이 다섯 번 있고, 7월과 8월 모두 31일까지 있다. 달력이 어떻게 놓이든 상관없이 그 8월에 반드시 다섯 번 나타나야 하는 요일 하나를 구하세요.
주어진 것: $N$년의 7월에는 월요일이 다섯 번 있다.; 7월은 $31$일까지 있고 8월도 $31$일까지 있다.; 선택지는 요일이다: (A) 월요일, (B) 화요일, (C) 수요일, (D) 목요일, (E) 금요일.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
'반드시'라는 말은, 답이 운 좋은 한 경우가 아니라 조건에 맞는 모든 7월에서 살아남아야 한다는 뜻이다. 그런 7월은 몇 개뿐이므로, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 전부 나열한다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 각 달을 네 주 더하기 남는 3일의 간단한 달력 격자로 바꾸면, 누가 다섯 번째 등장을 얻는지가 바로 보인다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기) 로 그 모든 8월에서 다섯 번 나타나는 요일만 남기고, 어떤 경우에서라도 실패하는 요일은 지운다.
실행 — 정답: D
4.NBT.B.6 단계 1 다섯 번을 얻는 요일은 세 개뿐
- 31일까지 있는 달은 꽉 찬 네 주(28일)에 3일이 더 있다: $31 = 4\times 7 + 3$.
- 모든 요일은 28일 부분 안에서 적어도 네 번 나타난다.
- 남는 3일은 29일, 30일, 31일이고, 그 요일은 1일, 2일, 3일의 요일과 같다.
- 따라서 정확히 그 달 1일, 2일, 3일의 요일만 다섯 번 나타난다.
💡 네 주가 28일을 딱 맞게 덮으므로, 남는 세 날만 그 요일의 다섯 번째 사본을 나눠 준다.
4.OA.C.5 단계 2 7월이 시작할 수 있는 요일 좁히기
- 7월에 월요일이 다섯 번 있으려면, 월요일이 그 앞 세 요일 중 하나 — 1일, 2일, 3일 — 이어야 한다.
- 그러면 가능한 7월은 딱 세 가지다: 7월 1일이 월요일이거나, 일요일(월요일이 2일)이거나, 토요일(월요일이 3일)이다.
- 다른 시작 요일로는 월요일이 다섯 번 나오지 않는다.
💡 다섯 번째 월요일은 남는 날에서만 나올 수 있으므로, 월요일은 7월의 앞 세 날 안에 놓여야 한다.
4.NBT.B.6 단계 3 각 8월이 시작하는 요일 찾기
- 8월 1일은 7월 1일로부터 31일 뒤다.
- $31 = 4\times 7 + 3$ 이므로 요일은 3만큼 앞으로 나아간다.
- 각 7월 시작을 세 날씩 밀면: 월요일 7월은 목요일 8월, 일요일 7월은 수요일 8월, 토요일 7월은 화요일 8월이 된다.
💡 31일은 몇 주보다 3일 더 지난 것이므로, 요일이 딱 세 칸 앞으로 미끄러진다.
4.OA.A.3 단계 4 모든 경우에 공통인 요일만 남기기
- 각 8월에서 다섯 번 나타나는 요일은 1일, 2일, 3일의 요일 — 8월 1일부터 연달아 세 날이다.
- 세 경우는 각각 $\{\text{목, 금, 토}\}$, $\{\text{수, 목, 금}\}$, $\{\text{화, 수, 목}\}$ 을 준다.
- 세 목록 모두에 나타나는 요일은 목요일뿐이므로, 목요일이 반드시 다섯 번 나타나는 요일이다: 선택지 (D).
- 금요일과 수요일은 각각 한 경우에서 빠지고, 월요일과 화요일은 두 경우에서 빠지므로 모두 지워진다.
💡 보장이란 모든 경우에서 살아남는 것이므로, 세 8월 모두가 공유하는 요일만 남긴다.
4.NBT.B.6 31일까지 있는 달은 꽉 찬 네 주(28일)에 3일이 더 있다: $31 = 4\times 7 + 3$. 모든 요일은 28일 부분 안에서 적어도 4.OA.C.5 7월에 월요일이 다섯 번 있으려면, 월요일이 그 앞 세 요일 중 하나 — 1일, 2일, 3일 — 이어야 한다. 그러면 가능한 7월은 딱 세 가지 4.NBT.B.6 8월 1일은 7월 1일로부터 31일 뒤다. $31 = 4\times 7 + 3$ 이므로 요일은 3만큼 앞으로 나아간다. 각 7월 시작을 세 날씩 4.OA.A.3 각 8월에서 다섯 번 나타나는 요일은 1일, 2일, 3일의 요일 — 8월 1일부터 연달아 세 날이다. 세 경우는 각각 ${\text{목, 금, 검토
합리성 확인: 가운데 경우를 직접 확인해 보자: 7월 1일이 일요일이면 월요일은 2일, 9일, 16일, 23일, 30일 — 요구대로 다섯 번이다. 그러면 8월 1일은 수요일이고, 8월에서 다섯 번 나타나는 요일은 수요일, 목요일, 금요일이라 목요일이 들어 있다. 다른 두 7월도 같은 방식으로 확인하면 목요일은 매번 나타나지만 다른 요일은 그렇지 않아, 선택지 (D)와 맞는다.
대안 접근: 시작 요일 대신 실제 월요일 날짜를 추적하자. 월요일이 다섯 번이려면 날짜가 $\{1,8,15,22,29\}$, $\{2,9,16,23,30\}$, 또는 $\{3,10,17,24,31\}$ 중 하나여야 한다. 각 경우에서 7월 31일의 요일을 읽고, 하루 넘겨 8월로 들어가 8월의 앞 세 요일을 적으면 된다. 그러면 목요일, 수요일, 화요일로 시작하는 8월이 그대로 나오고, 목요일이 다시 다섯 번 보장되는 유일한 요일이 된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($31 = 4\times 7 + 3$ 을 써서 31일 달이 네 주 더하기 남는 3일임을 보고, 8월 시작이 7월보다 세 요일 앞선다는 것을 알아낸다.)4.OA.C.5Generate a number or shape pattern following a given rule (7일 주기의 반복을 이용해, 월요일이 다섯 번 나오게 하는 세 가지 7월 시작 요일(월, 일, 토)을 나열한다.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (세 경우를 종합해, 모든 경우에서 다섯 번 나타나는 요일만 남긴다.)
⭐ 31일 달은 네 주에 3일이 더 있으므로 1일, 2일, 3일의 요일만 다섯 번째 차례를 얻고, 반드시 반복되는 요일은 가능한 모든 달력이 함께 공유하는 그 요일이다.
⭐ 31일 달은 네 주에 3일이 더 있으므로 1일, 2일, 3일의 요일만 다섯 번째 차례를 얻고, 반드시 반복되는 요일은 가능한 모든 달력이 함께 공유하는 그 요일이다.
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