AMC 10 · 2003 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityarea-trianglescoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

꼭짓점이 (0,0), (4,0), (4,1), (0,1)인 직사각형 내부에서 점 (x,y)를 고르게 무작위로 하나 뽑는다. 이 점의 x좌표가 y좌표보다 작을 확률, 즉 x ＜ y일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{3}{8}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

어떤 영역에서 점을 고르게 무작위로 뽑을 때, 확률은 넓이의 비이다: (원하는 부분의 넓이)를 (전체 넓이)로 나눈 값. 그래서 Tool #1(그림 그리기)이 핵심이다 — 직사각형을 그리고, 경계선 y=x를 긋고, x ＜ y인 부분을 색칠한다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 깔끔하게 나눈다: 전체 넓이를 구하고, 그다음 색칠한 넓이를 구한다. Tool #14(극단의 원리)는 앞부분의 날카로운 판단을 맡는다: y가 절대로 1을 넘지 못하므로 x ＜ y는 x ＜ 1을 강제하고, 직사각형의 긴 오른쪽 끝(x=1부터 x=4까지) 전체는 쓸모가 없어져 원하는 영역은 왼쪽 폭 1 안에 갇힌다.

1STEP 1

전체 넓이가 표본공간

고르게 뽑으므로 확률은 넓이의 비이고, 직사각형은 가로 4, 세로 1이므로 분모는 4이다.

전체 넓이 = 4 × 1 = 4

2STEP 2

x ＜ y인 영역 찾기

선 y=x의 위쪽이 이기는 쪽이고, y가 1을 넘지 못하므로 영역은 삼각형 (0,0), (0,1), (1,1)뿐이다.

y=x 와 y=1의 교점 (1,1); 영역 = △(0,0),(0,1),(1,1)

3STEP 3

이기는 삼각형의 넓이

그 삼각형은 (0,1)에서 직각이고 두 직각변이 모두 1이므로 넓이는 1/2이고, 이것이 분자이다.

넓이 = 1/2 × 1 × 1 = 1/2

4STEP 4

넓이를 나누어 확률 구하기

넓이를 나누면 1/2을 4로 나눈 값, 즉 1/8이고 선택지 (A)이다.

P(x ＜ y) = 1/2/4 = 1/8 → (A)

정답

1/8

이기는 삼각형은 긴 직사각형에 비하면 아주 작다: 왼쪽의 첫 1 × 1 정사각형 안에 들어가고, 그 안에서도 정사각형의 절반뿐이다. 정사각형 하나는 전체 직사각형의 1/4이고 그 절반이 1/8이다 — 작은 확률인데, x가 보통 최대 1인 y보다 훨씬 큰 납작하고 넓은 직사각형 그림과 잘 맞는다. 그래서 작은 답 1/8은 믿을 만하고, 1/2나 3/4 같은 큰 선택지는 너무 클 것이다.

💡핵심 정리

어떤 영역에 점을 고르게 떨어뜨릴 때 확률은 원하는 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이다 — 여기서는 넓이 4인 직사각형 안의 1/2짜리 삼각형이 1/8을 준다.

전체 넓이가 표본공간
x ＜ y인 영역 찾기
이기는 삼각형의 넓이
넓이를 나누어 확률 구하기

전체 넓이가 표본공간

x ＜ y인 영역 찾기

이기는 삼각형의 넓이

넓이를 나누어 확률 구하기

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