AMC 10 · 2011 · #20

학년 7 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityarc-measureequilateral-triangle symmetry-argumenteasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 r인 원 위에 두 점을 서로 독립적으로 무작위로 찍는다. 각 점에서 시계 방향으로 길이가 r인 현을 하나씩 긋는다. 이 두 현이 서로 교차할 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 핵심이다. 원을 그려 보면 길이 r인 현이 60도 호를 잘라낸다는 사실과 교차 조건이 눈에 보인다. 대칭성으로 첫 번째 점을 고정하면 무작위 점 두 개짜리 문제가 균등한 무작위 점 하나짜리 문제로 바뀌고, 두 번째 점의 각도에 변수를 두면 언제 현이 교차하는지 정확히 잴 수 있다.

1STEP 1

반지름과 같은 현은 60도 호를 자른다

길이 r인 현의 양 끝을 중심과 이으면 세 변이 모두 r이라 정삼각형, 그래서 잘리는 호는 60도이다.

현=r, 두 반지름=r → △ 정삼각형 → 중심각=호=60°

2STEP 2

대칭성으로 첫 번째 점을 고정하기

그림을 돌려도 교차 여부는 그대로이니 첫 점을 고정하자. 남는 것은 두 번째 점의 상대 위치뿐이고 여전히 균등하다.

P(교차) 는 두 번째 점의 상대 각도에만 의존

3STEP 3

끝점에 각도 이름 붙이기

첫 점을 0도에 두면 현 A의 끝점은 0도와 300도, 두 번째 점을 각도 b에 두면 현 B의 끝점은 b와 b-60도이다.

A:{0°, 300°}, B:{b, b-60°}, 0° ≤ b ＜ 360°

4STEP 4

끝점이 번갈아 놓일 때 현이 교차한다

B의 끝점 딱 하나가 A의 60도 틈에 들어갈 때 교차하니, b가 300~~360도 또는 0~~60도, 합쳐 120도이다.

b∈(300°,360°) 또는 b∈(0°,60°) → 60°+60°=120°

5STEP 5

유리한 호를 확률로 바꾸기

두 번째 점은 360도 전체에서 균등하므로 확률은 $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ , 답은 (D)이다.

P=120°/360°=1/3

정답

1/3

결과 1/3은 모든 확률처럼 0과 1 사이에 있다. 크기 면에서도 말이 된다. 각 현은 짧은 60도 호만 막으므로 교차는 가능하지만 흔하지는 않고, 360도 중 60도짜리 창 두 개로 3분의 1이 나오는 것은 이 예상과 맞는다. 이는 선택지 (D)와 일치한다.

💡핵심 정리

반지름만큼 긴 현은 항상 60도 호를 자르므로, 두 현은 두 번째 점이 두 개의 60도 창 중 하나에 들어갈 때만 교차한다. 360도 중 120도, 즉 세 번에 한 번꼴이다.

반지름과 같은 현은 60도 호를 자른다
대칭성으로 첫 번째 점을 고정하기
끝점에 각도 이름 붙이기
끝점이 번갈아 놓일 때 현이 교차한다
유리한 호를 확률로 바꾸기

반지름과 같은 현은 60도 호를 자른다

대칭성으로 첫 번째 점을 고정하기

끝점에 각도 이름 붙이기

끝점이 번갈아 놓일 때 현이 교차한다

유리한 호를 확률로 바꾸기

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