AMC 10 · 2011 · #13

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basicsign-analysis casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 수를 각각 구간

[-20, 10]

안에서 무작위로 하나씩 고르고, 두 선택은 서로 영향을 주지 않는다. 두 수의 곱이 0보다 클 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{9}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{4}{9}$

(D)

$\frac{5}{9}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

핵심 전환(도구 #16)은 “곱이 0보다 크다”가 곧 “두 수의 부호가 같다”라는 점이다. 그러면 문제가 두 갈래로 깔끔하게 나뉜다(도구 #7): 둘 다 음수이거나, 둘 다 양수. 각 갈래는 작은 독립 확률 계산이고, 두 갈래는 절대 겹치지 않으므로 확률을 더하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 뒷받침한다. 구간을 수직선으로 그리면 음수 부분(길이 20)과 양수 부분(길이 10)을 전체 길이 30과 비교하기 쉽다.

1STEP 1

음수 부분과 양수 부분 재기

전체 길이 30 중 음수 쪽 20, 양수 쪽 10. 한 번 고를 때 음수일 확률은 $\frac{2}{3}$ , 양수일 확률은 $\frac{1}{3}$ .

P(음) = 20/30 = 2/3, P(양) = 10/30 = 1/3

2STEP 2

두 번 다 음수일 확률

곱이 양수인 첫 경우는 둘 다 음수. 독립이므로 곱하면 $\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=$ $\frac{4}{9}$ .

P(둘 다 음) = 2/3×2/3 = 4/9

3STEP 3

두 번 다 양수일 확률

다른 경우는 둘 다 양수. 마찬가지로 곱하면 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{9}$ .

P(둘 다 양) = 1/3×1/3 = 1/9

4STEP 4

두 경우 더하기

두 경우는 겹치지 않으므로 더한다: $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=$ $\frac{5}{9}$ , 곧 선택지 (D).

P(곱 ＞ 0) = 4/9 + 1/9 = 5/9 → (D)

정답

5/9

여집합으로 확인하자. 곱이 음수인 경우는 두 수의 부호가 반대일 때이고, 이는 음-그다음-양, 양-그다음-음의 두 방식으로 일어나 2×2/3×1/3=4/9이다. 정확히 0에 걸릴 확률은 0이므로 양수 곱과 음수 곱이 전체를 채워야 한다: 5/9+4/9=1. 딱 맞는다. 또한 5/9는 절반보다 크며, 이는 더 넓은 음수 쪽이 부호가 같아질 가능성을 높이기 때문에 자연스럽다.

💡핵심 정리

곱은 두 수의 부호가 같을 때만 양수이므로, 부호가 같아지는 각 확률을 구해서 더하면 된다.

음수 부분과 양수 부분 재기
두 번 다 음수일 확률
두 번 다 양수일 확률
두 경우 더하기

음수 부분과 양수 부분 재기

두 번 다 음수일 확률

두 번 다 양수일 확률

두 경우 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기