AMC 10 · 2011 · #13

학년 7 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityprobability-basicsign-analysis casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

구간 $[-20, 10]$ 에서 두 실수를 서로 독립적으로 무작위로 선택한다. 이 두 수의 곱이 $0$ 보다 클 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{9}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{4}{9}$

(D)

$\frac{5}{9}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 수를 각각 구간 $[-20, 10]$ 안에서 무작위로 하나씩 고르고, 두 선택은 서로 영향을 주지 않는다. 두 수의 곱이 $0$보다 클 확률을 구하라.

주어진 것: 각 수는 $[-20, 10]$에서 고르게(균등하게) 무작위로 선택된다; 두 선택은 서로 독립이다; 선택지: (A) $\frac{1}{9}$, (B) $\frac{1}{3}$, (C) $\frac{4}{9}$, (D) $\frac{5}{9}$, (E) $\frac{2}{3}$

구하는 것: 두 수의 곱이 $0$보다 클 확률

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #1 그림 그리기

핵심 전환(도구 #16)은 “곱이 $0$보다 크다”가 곧 “두 수의 부호가 같다”라는 점이다. 그러면 문제가 두 갈래로 깔끔하게 나뉜다(도구 #7): 둘 다 음수이거나, 둘 다 양수. 각 갈래는 작은 독립 확률 계산이고, 두 갈래는 절대 겹치지 않으므로 확률을 더하면 된다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 뒷받침한다. 구간을 수직선으로 그리면 음수 부분(길이 $20$)과 양수 부분(길이 $10$)을 전체 길이 $30$과 비교하기 쉽다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 1

음수 부분과 양수 부분 재기

$[-20, 10]$을 수직선에 놓는다.
전체 길이는 $10-(-20)=30$이다.
음수 부분은 $-20$부터 $0$까지로 길이 $20$, 양수 부분은 $0$부터 $10$까지로 길이 $10$이다.
따라서 한 번 고를 때 음수일 확률은 $\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$, 양수일 확률은 $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$이다.

$$P(\text{음}) = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}, \qquad P(\text{양}) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$$

💡 균등한 구간에서는 어떤 영역의 확률이 그 길이를 전체 길이로 나눈 값이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

두 번 다 음수일 확률

곱이 양수가 되는 한 가지 경우는 두 수가 모두 음수인 것이다.
두 선택은 독립이므로 확률을 곱한다: $\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$.

$$P(\text{둘 다 음}) = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$$

💡 독립인 사건은 둘 다 일어날 확률이 각 확률의 곱이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

두 번 다 양수일 확률

곱이 양수가 되는 다른 경우는 두 수가 모두 양수인 것이다.
마찬가지로 독립인 확률을 곱한다: $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$.

$$P(\text{둘 다 양}) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$$

💡 부호가 같은 두 수를 곱하면 양수가 되므로 둘 다 양수인 경우도 포함된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.3 단계 4

두 경우 더하기

둘 다 음수인 경우와 둘 다 양수인 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 확률을 더한다: $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$.
이것이 곱이 $0$보다 클 확률이며, 선택지 (D)이다.

$$P(\text{곱} > 0) = \dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 별개 경우들의 확률은 서로 더한다.

[1] #1 7.SP.C.7 $[-20, 10]$을 수직선에 놓는다. 전체 길이는 $10-(-20)=30$이다. 음수 부분은 $-20$부터 $0$까지로 길이 $20$, 양수

[2] #7 7.SP.C.8 곱이 양수가 되는 한 가지 경우는 두 수가 모두 음수인 것이다. 두 선택은 독립이므로 확률을 곱한다: $\frac{2}{3}\times\frac

[3] #7 7.SP.C.8 곱이 양수가 되는 다른 경우는 두 수가 모두 양수인 것이다. 마찬가지로 독립인 확률을 곱한다: $\frac{1}{3}\times\frac{1}{

[4] #7 4.NF.B.3 둘 다 음수인 경우와 둘 다 양수인 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 확률을 더한다: $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5

검토

합리성 확인: 여집합으로 확인하자. 곱이 음수인 경우는 두 수의 부호가 반대일 때이고, 이는 음-그다음-양, 양-그다음-음의 두 방식으로 일어나 $2\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$이다. 정확히 $0$에 걸릴 확률은 $0$이므로 양수 곱과 음수 곱이 전체를 채워야 한다: $\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1$. 딱 맞는다. 또한 $\frac{5}{9}$는 절반보다 크며, 이는 더 넓은 음수 쪽이 부호가 같아질 가능성을 높이기 때문에 자연스럽다.

대안 접근: 표본공간을 $30\times30$ 정사각형으로 그린다(한 축에 한 선택씩). 곱이 양수인 영역은 왼쪽 아래 $20\times20$ 블록(둘 다 음수, 넓이 $400$)과 오른쪽 위 $10\times10$ 블록(둘 다 양수, 넓이 $100$)이다. 즉 $\frac{400+100}{900}=\frac{500}{900}=\frac{5}{9}$로, (D)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률을 구하기 (영역의 길이를 한 번 고를 때의 확률로 바꾸기: $P(\text{음})=\frac{2}{3}$, $P(\text{양})=\frac{1}{3}$.)
7.SP.C.8 목록, 표, 나무 그림, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (독립인 선택을 곱해 $P(\text{둘 다 음})=\frac{4}{9}$, $P(\text{둘 다 양})=\frac{1}{9}$ 구하기.)
4.NF.B.3 분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈 (겹치지 않는 두 경우를 합치기: $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$.)

⭐ 곱은 두 수의 부호가 같을 때만 양수이므로, 부호가 같아지는 각 확률을 구해서 더하면 된다.