AMC 10 · 2003 · #12
학년 7 geometry-2d꼭짓점이 (0,0), (4,0), (4,1), (0,1)인 직사각형 내부에서 점 (x,y)를 무작위로 하나 고른다. x<y일 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 꼭짓점이 $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,1)$, $(0,1)$인 직사각형 내부에서 점 $(x,y)$를 고르게 무작위로 하나 뽑는다. 이 점의 $x$좌표가 $y$좌표보다 작을 확률, 즉 $x<y$일 확률을 구하라.
주어진 것: 점은 직사각형 내부에서 균등하게(고르게) 무작위로 뽑는다.; 직사각형은 $x$가 $0$부터 $4$까지, $y$가 $0$부터 $1$까지 걸쳐 있다.; $x<y$라는 조건이 성립할 확률을 구한다.; 선택지: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{3}{8}$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) $\frac{3}{4}$.
구하는 것: 직사각형에서 균등하게 뽑은 점이 $x<y$를 만족할 확률.
이해
문제 재정리: 꼭짓점이 $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,1)$, $(0,1)$인 직사각형 내부에서 점 $(x,y)$를 고르게 무작위로 하나 뽑는다. 이 점의 $x$좌표가 $y$좌표보다 작을 확률, 즉 $x<y$일 확률을 구하라.
주어진 것: 점은 직사각형 내부에서 균등하게(고르게) 무작위로 뽑는다.; 직사각형은 $x$가 $0$부터 $4$까지, $y$가 $0$부터 $1$까지 걸쳐 있다.; $x<y$라는 조건이 성립할 확률을 구한다.; 선택지: (A) $\frac{1}{8}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{3}{8}$, (D) $\frac{1}{2}$, (E) $\frac{3}{4}$.
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #14 극단의 원리
어떤 영역에서 점을 고르게 무작위로 뽑을 때, 확률은 넓이의 비이다: (원하는 부분의 넓이)를 (전체 넓이)로 나눈 값. 그래서 Tool #1(그림 그리기)이 핵심이다 — 직사각형을 그리고, 경계선 $y=x$를 긋고, $x<y$인 부분을 색칠한다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 깔끔하게 나눈다: 전체 넓이를 구하고, 그다음 색칠한 넓이를 구한다. Tool #14(극단의 원리)는 앞부분의 날카로운 판단을 맡는다: $y$가 절대로 $1$을 넘지 못하므로 $x<y$는 $x<1$을 강제하고, 직사각형의 긴 오른쪽 끝($x=1$부터 $x=4$까지) 전체는 쓸모가 없어져 원하는 영역은 왼쪽 폭 $1$ 안에 갇힌다.
실행 — 정답: A
6.G.A.1 단계 1 전체 넓이가 표본공간
- 점을 균등하게 뽑으므로 직사각형의 같은 크기 조각은 모두 똑같이 뽑힐 가능성이 있고, 따라서 확률은 조건을 만족하는 넓이가 전체 넓이에서 차지하는 비율이다.
- 먼저 직사각형 전체를 재면, 가로가 $4$($x=0$부터 $x=4$까지), 세로가 $1$($y=0$부터 $y=1$까지)이므로 넓이는 $4\times 1 = 4$이다.
- 이 $4$가 확률의 분모가 된다.
💡 점이 고르게 뿌려질 때, 어떤 영역에 들어갈 확률은 그 영역이 전체 넓이에서 차지하는 비율일 뿐이다.
6.G.A.3 단계 2 x < y인 영역 찾기
- 선 $y=x$를 긋는다.
- $x<y$인 점은 이 선의 위쪽에 있다.
- 직사각형 안에서 윗변은 $y=1$이고, 선 $y=x$는 이 윗변과 $(1,1)$에서 만나며 꼭짓점 $(0,0)$에서 들어온다.
- 그래서 선 위쪽이면서 직사각형 안인 부분은 꼭짓점이 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$인 삼각형이 된다.
- $x=1$의 오른쪽은 모두 $x\ge 1>y$이므로 그 긴 띠는 전혀 세지 않는다 — 원하는 영역은 정말로 왼쪽 위의 이 작은 삼각형뿐이다.
💡 높이가 $1$까지만 닿으므로 $1$보다 큰 $x$는 절대 $y$에게 질 수 없고, 이것이 이기는 영역 전체를 가장 왼쪽 폭 $1$ 안으로 못 박는다.
6.G.A.1 단계 3 이기는 삼각형의 넓이
- 꼭짓점이 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$인 삼각형은 직각삼각형이다: $(0,0)$에서 $(0,1)$까지의 왼쪽 변은 길이 $1$의 수직선이고, $(0,1)$에서 $(1,1)$까지의 윗변은 길이 $1$의 수평선이다.
- 이 두 변은 $(0,1)$에서 직각으로 만나므로 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반, 즉 $\tfrac12\times 1\times 1 = \tfrac12$이다.
- 이 $\tfrac12$이 확률의 분자가 된다.
💡 직각삼각형은 두 직각변으로 그릴 수 있는 직사각형의 정확히 절반이므로, 넓이는 $1\times 1$의 절반이다.
7.SP.C.7 단계 4 넓이를 나누어 확률 구하기
- 확률은 원하는 넓이를 전체 넓이로 나눈 값이다: $\dfrac{1/2}{4} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}$.
- 그래서 무작위 점이 $x<y$를 만족할 확률은 $\dfrac{1}{8}$이고, 이는 선택지 (A)이다.
💡 무작위 점 문제를 두 넓이의 나눗셈으로 바꾸는 것이 기하 확률을 쉽게 끝내는 비결이다.
6.G.A.1 점을 균등하게 뽑으므로 직사각형의 같은 크기 조각은 모두 똑같이 뽑힐 가능성이 있고, 따라서 확률은 조건을 만족하는 넓이가 전체 넓이에서 차지하 6.G.A.3 선 $y=x$를 긋는다. $x<y$인 점은 이 선의 위쪽에 있다. 직사각형 안에서 윗변은 $y=1$이고, 선 $y=x$는 이 윗변과 $(1,1) 6.G.A.1 꼭짓점이 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$인 삼각형은 직각삼각형이다: $(0,0)$에서 $(0,1)$까지의 왼쪽 변은 길이 $1$의 7.SP.C.7 확률은 원하는 넓이를 전체 넓이로 나눈 값이다: $\dfrac{1/2}{4} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4} = \d 검토
합리성 확인: 이기는 삼각형은 긴 직사각형에 비하면 아주 작다: 왼쪽의 첫 $1\times 1$ 정사각형 안에 들어가고, 그 안에서도 정사각형의 절반뿐이다. 정사각형 하나는 전체 직사각형의 $\tfrac14$이고 그 절반이 $\tfrac18$이다 — 작은 확률인데, $x$가 보통 최대 $1$인 $y$보다 훨씬 큰 납작하고 넓은 직사각형 그림과 잘 맞는다. 그래서 작은 답 $\tfrac18$은 믿을 만하고, $\tfrac12$나 $\tfrac34$ 같은 큰 선택지는 너무 클 것이다.
대안 접근: 변수를 도입해 적분하기(Tool #4/#13 느낌): $0\le y\le 1$에서 조건 $x<y$일 때 허용되는 $x$는 $0$부터 $y$까지, 즉 폭이 $y$이다. 그 폭을 $y$가 $0$부터 $1$까지 걸쳐 평균 내면 넓이 $\int_0^1 y\,dy = \tfrac12$이 되고, 이를 전체 넓이 $4$로 나누면 다시 $\tfrac{1}{8}$ — 삼각형을 그리지 않고도 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.G.A.1도형을 합치거나 나누어 삼각형과 직사각형의 넓이 구하기 (직사각형의 넓이($4$)와 이기는 직각삼각형의 넓이($\tfrac12$)를 계산.)6.G.A.3좌표평면에 다각형을 그리고 좌표로 변의 길이 구하기 (선 $y=x$와 직사각형을 그려 $x<y$인 삼각형 영역과 그 꼭짓점을 찾음.)7.SP.C.7균등 확률 모형을 세우고 사건의 확률 구하기 (균등 무작위 점을 넓이의 비로 다룸: 확률 = 이기는 넓이 나누기 전체 넓이.)
⭐ 어떤 영역에 점을 고르게 떨어뜨릴 때 확률은 원하는 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이다 — 여기서는 넓이 $4$인 직사각형 안의 $\tfrac12$짜리 삼각형이 $\tfrac{1}{8}$을 준다.
⭐ 어떤 영역에 점을 고르게 떨어뜨릴 때 확률은 원하는 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이다 — 여기서는 넓이 $4$인 직사각형 안의 $\tfrac12$짜리 삼각형이 $\tfrac{1}{8}$을 준다.
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