AMC 10 · 2003 · #13

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 수의 합이 20이다. 첫째 수는 나머지 두 수의 합의 네 배이고, 둘째 수는 셋째 수의 일곱 배이다. 세 수의 곱을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

400

(E)

800

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제의 각 문장이 어떤 수를 다른 수들로 설명하고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 미지수에 이름을 붙이고 각 문장을 방정식으로 바꾼다. 똑똑한 방법은 세 수를 한꺼번에 구하지 않는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다: 먼저 '나머지 두 수'를 하나의 덩어리로 보아 첫째 수를 확정하고, 그다음 그 덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째를 구한다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 각 영어 조건을 한 걸음씩 풀 수 있는 깔끔한 방정식으로 옮겨 준다.

1STEP 1

수에 이름을 붙이고 조건을 쓰기

세 수를 a, b, c라 하면 문장은 a+b+c=20, a=4(b+c), b=7c가 된다. 미지수 셋에 사실도 셋이다.

a+b+c=20, a=4(b+c), b=7c

2STEP 2

나머지 두 수를 한 덩어리로 보아 첫째 구하기

전체 합에 a=4(b+c)를 대입하면 5(b+c)=20이므로 덩어리 b+c=4이고 첫째 수는 16이다.

4(b+c)+(b+c)=5(b+c)=20 → b+c=4, a=16

3STEP 3

덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째 구하기

b+c=4에 b=7c를 넣으면 8c=4이므로 셋째 수는 0.5이고 둘째 수는 3.5이다.

7c+c=8c=4 → c=1/2, b=7/2=3.5, a=16

4STEP 4

세 수를 곱하기

소수끼리 먼저 곱하면 3.5 × 0.5 = 1.75이고, 16 × 1.75 = 28, 곧 선택지 (A)이다.

16 × 3.5 × 0.5 = 16 × 1.75 = 28 → (A)

정답

세 수 16, 3.5, 0.5는 모든 조건을 만족한다: 합이 20이고, 첫째(16)는 나머지 두 수의 합(4)의 네 배이며, 둘째(3.5)는 셋째(0.5)의 일곱 배이다. 이들의 곱 28은 가장 작은 선택지인데, 세 수 중 둘이 1.5보다 작아 곱을 끌어내리므로 이는 자연스럽다. 400이나 800 같은 큰 값이 나오려면 세 수가 모두 커야 하지만, 실제로 큰 것은 첫째 하나뿐이다.

💡핵심 정리

한 수가 나머지 전부의 네 배이면 전체가 똑같은 다섯 부분으로 나뉘므로, 큰 수를 먼저 떼어 내고 남은 것을 주어진 비로 나누면 된다.

수에 이름을 붙이고 조건을 쓰기
나머지 두 수를 한 덩어리로 보아 첫째 구하기
덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째 구하기
세 수를 곱하기

수에 이름을 붙이고 조건을 쓰기

나머지 두 수를 한 덩어리로 보아 첫째 구하기

덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째 구하기

세 수를 곱하기

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