AMC 10 · 2003 · #13

학년 7 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 수의 합이 $20$ 이다. 첫째 수는 나머지 두 수의 합의 네 배이고, 둘째 수는 셋째 수의 일곱 배이다. 세 수의 곱은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

400

(E)

800

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수의 합이 $20$이다. 첫째 수는 나머지 두 수의 합의 네 배이고, 둘째 수는 셋째 수의 일곱 배이다. 세 수의 곱을 구하라.

주어진 것: 세 수의 합은 $20$이다; 첫째 수 $=$ (둘째 $+$ 셋째)의 네 배; 둘째 수 $=$ 셋째 수의 일곱 배; 선택지: (A) $28$, (B) $40$, (C) $100$, (D) $400$, (E) $800$

구하는 것: 세 수 각각의 값; (첫째) $\times$ (둘째) $\times$ (셋째)의 곱

이해

문제 재정리: 세 수의 합이 $20$이다. 첫째 수는 나머지 두 수의 합의 네 배이고, 둘째 수는 셋째 수의 일곱 배이다. 세 수의 곱을 구하라.

주어진 것: 세 수의 합은 $20$이다; 첫째 수 $=$ (둘째 $+$ 셋째)의 네 배; 둘째 수 $=$ 셋째 수의 일곱 배; 선택지: (A) $28$, (B) $40$, (C) $100$, (D) $400$, (E) $800$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

문제의 각 문장이 어떤 수를 다른 수들로 설명하고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 미지수에 이름을 붙이고 각 문장을 방정식으로 바꾼다. 똑똑한 방법은 세 수를 한꺼번에 구하지 않는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다: 먼저 '나머지 두 수'를 하나의 덩어리로 보아 첫째 수를 확정하고, 그다음 그 덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째를 구한다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 각 영어 조건을 한 걸음씩 풀 수 있는 깔끔한 방정식으로 옮겨 준다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

수에 이름을 붙이고 조건을 쓰기

세 수를 $a$(첫째), $b$(둘째), $c$(셋째)라고 하자.
각 문장을 그대로 옮긴다: '합이 $20$'은 $a+b+c=20$; '첫째는 나머지 두 수 합의 네 배'는 $a=4(b+c)$; '둘째는 셋째의 일곱 배'는 $b=7c$.
미지수 셋에 대한 사실이 셋이므로, 세 수를 완전히 확정하기에 딱 충분하다.

$$a+b+c=20,\qquad a=4(b+c),\qquad b=7c$$

💡 각 수에 문자를 붙이면 모든 문장이 다룰 수 있는 방정식이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

나머지 두 수를 한 덩어리로 보아 첫째 구하기

나머지 두 수의 합 $b+c$를 하나의 덩어리로 보자.
첫째 사실은 $a+(b+c)=20$이고, 둘째 사실은 $a=4(b+c)$이다.
$a$를 대입하면 $4(b+c)+(b+c)=20$, 즉 $5(b+c)=20$이므로 $b+c=4$이다.
그러면 $a=4\times 4=16$이다.
전체 $20$이 똑같은 네 덩어리로 나뉘고, 첫째 수가 그중 네 몫을 차지한다.

$$4(b+c)+(b+c)=5(b+c)=20 \;\Rightarrow\; b+c=4,\quad a=16$$

💡 첫째가 나머지의 네 배이면 전체는 똑같은 다섯 부분이므로, 나머지는 한 부분이고 첫째는 네 부분이다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

덩어리를 쪼개어 둘째와 셋째 구하기

이제 $b+c=4$와 $b=7c$를 함께 쓴다.
$b$를 바꿔 넣으면 $7c+c=4$, 즉 $8c=4$이므로 $c=\tfrac{1}{2}$이다.
그러면 $b=7c=\tfrac{7}{2}$이다.
합을 확인하면 $16+3.5+0.5=20$이고, $3.5$는 실제로 $0.5$의 일곱 배이므로 세 조건이 모두 성립한다.

$$7c+c=8c=4 \;\Rightarrow\; c=\tfrac{1}{2},\quad b=\tfrac{7}{2}=3.5,\quad a=16$$

💡 합이 $4$인 것을 $7$대 $1$로 나누면 똑같은 여덟 몫이 되므로 한 몫은 $\tfrac12$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.3 단계 4

세 수를 곱하기

곱은 $a\times b\times c = 16 \times 3.5 \times 0.5$이다.
나누어 계산하자: $3.5 \times 0.5 = 1.75$이고, $16 \times 1.75 = 28$이다.
따라서 세 수의 곱은 $28$이고, 이것은 선택지 (A)이다.

$$16 \times 3.5 \times 0.5 = 16 \times 1.75 = 28 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 소수를 먼저 곱해 두면 마지막 곱셈이 $16$ 곱하기 깔끔한 수가 된다.

[1] #4 6.EE.B.6 세 수를 $a$(첫째), $b$(둘째), $c$(셋째)라고 하자. 각 문장을 그대로 옮긴다: '합이 $20$'은 $a+b+c=20$; '첫째는

[2] #7 6.EE.B.7 나머지 두 수의 합 $b+c$를 하나의 덩어리로 보자. 첫째 사실은 $a+(b+c)=20$이고, 둘째 사실은 $a=4(b+c)$이다. $a$를

[3] #13 7.EE.B.4 이제 $b+c=4$와 $b=7c$를 함께 쓴다. $b$를 바꿔 넣으면 $7c+c=4$, 즉 $8c=4$이므로 $c=\tfrac{1}{2}$이다.

[4] #7 6.NS.B.3 곱은 $a\times b\times c = 16 \times 3.5 \times 0.5$이다. 나누어 계산하자: $3.5 \times 0.5 =

검토

합리성 확인: 세 수 $16$, $3.5$, $0.5$는 모든 조건을 만족한다: 합이 $20$이고, 첫째($16$)는 나머지 두 수의 합($4$)의 네 배이며, 둘째($3.5$)는 셋째($0.5$)의 일곱 배이다. 이들의 곱 $28$은 가장 작은 선택지인데, 세 수 중 둘이 $1.5$보다 작아 곱을 끌어내리므로 이는 자연스럽다. $400$이나 $800$ 같은 큰 값이 나오려면 세 수가 모두 커야 하지만, 실제로 큰 것은 첫째 하나뿐이다.

대안 접근: 처음부터 모든 것을 셋째 수 $c$로 줄인다: $b=7c$이고 $a=4(b+c)=4(8c)=32c$이므로, 합 $32c+7c+c=40c=20$에서 $c=\tfrac12$이다. 그러면 $b=3.5$, $a=16$이고, 곱은 다시 $16\times 3.5\times 0.5 = 28$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (세 수 $a$, $b$, $c$에 이름을 붙이고 문제의 각 문장을 방정식으로 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($4(b+c)+(b+c)$를 $5(b+c)=20$으로 묶어 덩어리 $b+c=4$와 첫째 수 $a=16$을 구하는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($b+c=4$와 $b=7c$를 결합해 $8c=4$를 만들고 둘째와 셋째 수를 구하는 데 사용.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals ($16 \times 3.5 \times 0.5$를 곱해 최종 곱 $28$을 구하는 데 사용.)

⭐ 한 수가 나머지 전부의 네 배이면 전체가 똑같은 다섯 부분으로 나뉘므로, 큰 수를 먼저 떼어 내고 남은 것을 주어진 비로 나누면 된다.