AMC 10 · 2005 · #3

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

linear-equations-one-varsystems-of-equations identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

두 방정식 $2x + 7 = 3$ 과 $bx - 10 = -2$ 는 같은 해 $x$ 를 가진다. $b$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-8

(B)

-4

(C)

-2

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 방정식 $2x+7=3$ 과 $bx-10=-2$ 가 같은 해 $x$ 를 가진다고 한다. 즉 어떤 하나의 $x$ 값이 두 방정식을 동시에 참으로 만든다는 뜻이다. 이렇게 되게 하는 $b$ 의 값을 구하여라.

주어진 것: 첫 번째 방정식: $2x+7=3$; 두 번째 방정식: $bx-10=-2$; 두 방정식은 같은 $x$ 값에서 참이 된다; 선택지: (A) $-8$, (B) $-4$, (C) $-2$, (D) $4$, (E) $8$

구하는 것: $b$ 의 값 (두 번째 방정식의 계수)

이해

주어진 것: 첫 번째 방정식: $2x+7=3$; 두 번째 방정식: $bx-10=-2$; 두 방정식은 같은 $x$ 값에서 참이 된다; 선택지: (A) $-8$, (B) $-4$, (C) $-2$, (D) $4$, (E) $8$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

"같은 해"라는 표현이 문제를 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나누므로, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 앞장선다. 먼저 미지수가 하나뿐인 첫 번째 방정식을 풀어 $x$ 를 구하고, 그 값을 두 번째 방정식에 넣는다. 도구 #11 (거꾸로 풀기)은 두 번째 단계를 맡는다. 두 번째 방정식은 결과 $-2$ 를 주고, 거기서부터 거꾸로 계수 $b$ 를 알아낸다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 부호 함정을 지킨다. 음의 부호를 놓치면 답이 (D) $4$ 가 되고, $x$ 를 그대로 베끼면 (C) $-2$ 가 된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.B.4 단계 1

첫 번째 방정식으로 x 구하기

첫 번째 방정식에는 $x$ 만 있으므로 따로 푼다.
양변에서 $7$ 을 빼면 $2x=3-7=-4$.
그다음 양변을 $2$ 로 나누면 $x=-2$.
이것이 문제에서 말하는 유일한 $x$ 값이다.

$$2x+7=3\;\Rightarrow\;2x=-4\;\Rightarrow\;x=-2$$

💡 미지수가 하나뿐인 방정식은 그 미지수를 한 수로 못 박는다 — $+7$ 과 $\times2$ 를 되돌리면 드러난다.

#11 거꾸로 풀기 7.EE.B.4 단계 2

"같은 해"로 두 방정식 잇기

두 방정식이 같은 해를 가지므로, $x=-2$ 는 두 번째 방정식도 참으로 만들어야 한다.
$bx-10=-2$ 에서 $x$ 를 $-2$ 로 바꾸면 이제 미지수가 $b$ 뿐인 방정식이 된다: $b(-2)-10=-2$, 즉 $-2b-10=-2$.

$$b(-2)-10=-2\;\Rightarrow\;-2b-10=-2$$

💡 "같은 해"는 다리다: 한쪽에서 구한 수는 다른 쪽에도 맞아떨어져야 한다.

#11 거꾸로 풀기 7.NS.A.2 단계 3

b 구하기

이제 $-2b-10=-2$ 를 $b$ 에 대해 푼다.
양변에 $10$ 을 더하면 $-2b=8$.
양변을 $-2$ 로 나누면 $b=-4$.
부호를 조심하라 — $8$ 을 $-2$ 로 나누면 음수가 되므로 $4$ 가 아니라 $b=-4$ 이다.
따라서 답은 (B)이다.

$$-2b-10=-2\;\Rightarrow\;-2b=8\;\Rightarrow\;b=-4\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 양수를 음수로 나누면 부호가 바뀌므로 계수는 $0$ 아래로 내려간다.

[1] #7 7.EE.B.4 첫 번째 방정식에는 $x$ 만 있으므로 따로 푼다. 양변에서 $7$ 을 빼면 $2x=3-7=-4$. 그다음 양변을 $2$ 로 나누면 $x=-2$

[2] #11 7.EE.B.4 두 방정식이 같은 해를 가지므로, $x=-2$ 는 두 번째 방정식도 참으로 만들어야 한다. $bx-10=-2$ 에서 $x$ 를 $-2$ 로 바꾸

[3] #11 7.NS.A.2 이제 $-2b-10=-2$ 를 $b$ 에 대해 푼다. 양변에 $10$ 을 더하면 $-2b=8$. 양변을 $-2$ 로 나누면 $b=-4$. 부호를

검토

합리성 확인: 두 수를 다시 넣어 확인한다: $x=-2$, $b=-4$ 일 때 두 번째 방정식은 $(-4)(-2)-10=8-10=-2$ 가 되어 요구된 $-2$ 와 정확히 일치한다. 첫 번째 방정식도 맞는다: $2(-2)+7=-4+7=3$. 둘 다 성립하므로 $b=-4$ 가 옳다. 함정 답들도 아깝게 빗나간 값으로 말이 된다: (D) $4$ 는 $-2$ 로 나눌 때 부호를 놓친 결과이고, (C) $-2$ 는 $x$ 값을 그대로 베낀 것이다.

대안 접근: 두 번째 방정식을 바로 $b$ 에 대해 풀지 말고 $bx$ 항을 먼저 분리한다. $bx-10=-2$ 에 $10$ 을 더하면 $bx=8$. $x=-2$ 이므로 $-2b=8$, 따라서 $b=8\div(-2)=-4$. 상수를 먼저 정리했을 뿐 똑같이 (B)에 도착한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.B.4 변수로 수량을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세워 푼다 ($px+q=r$ 꼴의 두 단계 방정식 $2x+7=3$ 을 풀어 $x=-2$ 를 구하고, 그 값을 두 번째 방정식에 대입하여 다시 쓰는 데 사용.)
7.NS.A.2 유리수의 곱셈과 나눗셈에 대한 이해를 확장하여 적용한다 ($8$ 을 $-2$ 로 나누어 $b$ 를 분리하고, 부호를 올바르게 따져 $4$ 가 아닌 $b=-4$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 두 방정식이 해를 공유하면, 미지수가 하나뿐인 방정식을 먼저 풀고 그 수를 다른 방정식에 넣어 남은 것을 알아내라.