AMC 10 · 2008 · #15

학년 7 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ratesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어제 이언, 한, 잰 세 사람이 운전을 했다. 이언과 비교해서 한은 1시간 더 오래, 속력은 시속 5마일 더 빠르게 달렸고, 잰은 2시간 더 오래, 속력은 시속 10마일 더 빠르게 달렸다. 한이 간 거리는 이언보다 70마일 더 길었다. 잰이 이언보다 몇 마일 더 달렸는지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 120$

(B)

$\ 130$

(C)

$\ 140$

(D)

$\ 150$

(E)

$\ 160$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이언의 실제 속력이나 시간이 전혀 주어지지 않았으므로, 그것들을 변수로 이름 붙이고 모든 거리를 그 변수로 나타낸다. 두 사람의 '더 간 거리' 식을 전개하면 미지의 곱 항이 사라지고, 두 식 모두에 같은 조합이 나타난다. 그래서 계획은 식을 세운 다음, 각 변수를 따로 구하는 대신 이 공통 조합에 초점을 옮기는 것이다.

1STEP 1

거리 = 속력 × 시간

각 사람의 거리는 속력 곱하기 시간이다. 이 관계 하나가 문제의 모든 수를 잇는다.

거리 = 속력 × 시간

2STEP 2

이언의 속력과 시간에 이름 붙이기

이언의 속력을 s, 시간을 t라 하면 이언은 s·t, 한은 (s+5)(t+1), 잰은 (s+10)(t+2)마일을 달렸다.

이언: s t, 한: (s+5)(t+1), 잰: (s+10)(t+2)

3STEP 3

한의 70마일 단서 쓰기

(s+5)(t+1) - s·t를 전개하면 s·t가 사라지고 s + 5t + 5 = 70, 즉 s + 5t = 65가 된다.

(s+5)(t+1) - s t = s + 5t + 5 = 70 → s + 5t = 65

4STEP 4

잰의 차이도 같은 방식으로

같은 방법으로 (s+10)(t+2) - s·t는 2s + 10t + 20, 곧 2(s + 5t) + 20이다. 같은 덩어리가 또 나온다.

(s+10)(t+2) - s t = 2s + 10t + 20 = 2(s + 5t) + 20

5STEP 5

대입해서 마무리하기

s + 5t = 65를 잰의 식에 대입하면 2(65) + 20 = 150마일이다. 답은 (D)이다.

2(65) + 20 = 130 + 20 = 150

정답

150

잰은 한보다 이언 대비 시간도 더 많고 속력도 더 빠르므로, 잰의 차이는 한의 70마일보다 커야 하며 150이 그렇다. 구체적인 확인도 맞다: 이언이 시속 45마일로 4시간 달렸다면 s + 5t = 45 + 20 = 65가 성립하고, 이언은 180마일, 한은 (50)(5)=250으로 70마일 더, 잰은 (55)(6)=330으로 150마일 더 달렸다. 답 (D)가 맞다.

💡핵심 정리

미지수를 하나하나 다 구할 필요는 없다. 때로는 s + 5t 같은 조합 하나만 찾아도 답을 낼 수 있다.

거리 = 속력 × 시간
이언의 속력과 시간에 이름 붙이기
한의 70마일 단서 쓰기
잰의 차이도 같은 방식으로
대입해서 마무리하기

거리 = 속력 × 시간

이언의 속력과 시간에 이름 붙이기

한의 70마일 단서 쓰기

잰의 차이도 같은 방식으로

대입해서 마무리하기

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