AMC 10 · 2008 · #15

학년 7 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ratesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어제 한은 이언보다 1시간 더 오래, 이언보다 시속 5마일 더 빠른 평균 속력으로 운전했다. 잰은 이언보다 2시간 더 오래, 이언보다 시속 10마일 더 빠른 평균 속력으로 운전했다. 한은 이언보다 70마일 더 많이 운전했다. 잰은 이언보다 몇 마일 더 많이 운전했는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 120$

(B)

$\ 130$

(C)

$\ 140$

(D)

$\ 150$

(E)

$\ 160$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 사람이 어제 운전을 했다. 이언과 비교해서 한은 1시간 더 오래, 속력은 시속 5마일 더 빠르게 달렸고, 잰은 2시간 더 오래, 속력은 시속 10마일 더 빠르게 달렸다. 한이 간 거리는 이언보다 70마일 더 길었다. 잰이 이언보다 몇 마일 더 달렸는지 구하라.

주어진 것: 각 사람의 거리 = 속력 × 시간이다.; 한의 속력 = 이언의 속력 + 시속 5마일, 한의 시간 = 이언의 시간 + 1시간이다.; 잰의 속력 = 이언의 속력 + 시속 10마일, 잰의 시간 = 이언의 시간 + 2시간이다.; 한은 이언보다 70마일 더 달렸다.

구하는 것: 잰이 이언보다 몇 마일 더 달렸는가.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기

이언의 실제 속력이나 시간이 전혀 주어지지 않았으므로, 그것들을 변수로 이름 붙이고 모든 거리를 그 변수로 나타낸다. 두 사람의 '더 간 거리' 식을 전개하면 미지의 곱 항이 사라지고, 두 식 모두에 같은 조합이 나타난다. 그래서 계획은 식을 세운 다음, 각 변수를 따로 구하는 대신 이 공통 조합에 초점을 옮기는 것이다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

거리 = 속력 × 시간

각 사람의 거리는 속력에 시간을 곱한 값이다.
이 하나의 관계가 문제 속 모든 수를 연결하므로, 변수를 붙이기 전에 먼저 적어 둔다.

\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}

💡 달린 거리는 얼마나 빠른지 곱하기 얼마나 오래 달렸는지이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

이언의 속력과 시간에 이름 붙이기

이언의 속력을 시속 s마일, 시간을 t시간이라 하자.
그러면 이언은 s·t마일을 달렸다.
두 비교를 쓰면 한은 (s+5)(t+1)마일, 잰은 (s+10)(t+2)마일을 달렸다.

\text{이언}: s\,t, \qquad \text{한}: (s+5)(t+1), \qquad \text{잰}: (s+10)(t+2)

💡 미지수에 글자를 주면 각 사람의 여정이 깔끔한 식 하나가 된다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 3

한의 70마일 단서 쓰기

한이 이언보다 더 간 거리는 (s+5)(t+1)에서 s·t를 뺀 값이다.
전개하면 s·t 항이 사라지고 s + 5t + 5가 남는다.
이 값을 70과 같다고 두면 s + 5t = 65가 된다.

$$(s+5)(t+1) - s\,t = s + 5t + 5 = 70 \;\Rightarrow\; s + 5t = 65$$

💡 지저분한 s·t 항이 사라지고 s + 5t에 대한 깔끔한 사실만 남는다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 4

잰의 차이도 같은 방식으로

잰이 이언보다 더 간 거리는 (s+10)(t+2)에서 s·t를 뺀 값이다.
전개하고 s·t를 지우면 2s + 10t + 20이 되고, 이는 바로 2(s + 5t) + 20이다.
같은 덩어리 s + 5t가 다시 나타난다.

$$(s+10)(t+2) - s\,t = 2s + 10t + 20 = 2(s + 5t) + 20$$

💡 s와 t를 따로 구하지 말고 s + 5t를 하나의 덩어리로 다룬다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 5

대입해서 마무리하기

한의 단서에서 s + 5t = 65이다.
이를 잰의 식에 대입하면 2(65) + 20 = 150이다.
따라서 잰은 이언보다 150마일 더 달렸다.
답은 (D)이다.

$$2(65) + 20 = 130 + 20 = 150$$

💡 알아낸 조합 하나만 있으면 마지막 수를 정확히 구할 수 있다.

[1] #8 6.RP.A.3 각 사람의 거리는 속력에 시간을 곱한 값이다. 이 하나의 관계가 문제 속 모든 수를 연결하므로, 변수를 붙이기 전에 먼저 적어 둔다.

[2] #4 6.EE.B.6 이언의 속력을 시속 s마일, 시간을 t시간이라 하자. 그러면 이언은 s·t마일을 달렸다. 두 비교를 쓰면 한은 (s+5)(t+1)마일, 잰은 (

[3] #13 7.EE.A.1 한이 이언보다 더 간 거리는 (s+5)(t+1)에서 s·t를 뺀 값이다. 전개하면 s·t 항이 사라지고 s + 5t + 5가 남는다. 이 값을

[4] #16 6.EE.A.3 잰이 이언보다 더 간 거리는 (s+10)(t+2)에서 s·t를 뺀 값이다. 전개하고 s·t를 지우면 2s + 10t + 20이 되고, 이는 바로

[5] #4 7.EE.B.4 한의 단서에서 s + 5t = 65이다. 이를 잰의 식에 대입하면 2(65) + 20 = 150이다. 따라서 잰은 이언보다 150마일 더 달렸다

검토

합리성 확인: 잰은 한보다 이언 대비 시간도 더 많고 속력도 더 빠르므로, 잰의 차이는 한의 70마일보다 커야 하며 150이 그렇다. 구체적인 확인도 맞다: 이언이 시속 45마일로 4시간 달렸다면 s + 5t = 45 + 20 = 65가 성립하고, 이언은 180마일, 한은 (50)(5)=250으로 70마일 더, 잰은 (55)(6)=330으로 150마일 더 달렸다. 답 (D)가 맞다.

대안 접근: s + 5t = 65를 만족하는 편한 수를 이언에게 정해 주고(예: s = 45, t = 4) 세 거리를 직접 계산한 뒤 잰에서 이언을 빼면 된다. 관계가 일차식이라 어떤 유효한 값을 골라도 항상 150이 나오며, 그래서 대수 풀이에서 s와 t를 따로 구할 필요가 없었던 것이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (속력과 시간 설명을 각 사람의 거리 = 속력 × 시간으로 바꾸기.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (이언의 속력 s와 시간 t에 이름을 붙이고 각 사람의 거리를 식으로 쓰기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ((s+5)(t+1) - s·t를 전개하고 s + 5t = 65로 정리하기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (잰의 차이 2s + 10t + 20을 2(s + 5t) + 20으로 바꿔 공통 덩어리 드러내기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (s + 5t = 65를 잰의 식에 대입해 최종 150 구하기.)

⭐ 미지수를 하나하나 다 구할 필요는 없다. 때로는 s + 5t 같은 조합 하나만 찾아도 답을 낼 수 있다.