AMC 10 · 2003 · #18

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

vieta-formulasquadratic-equationsfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

방정식
$\frac{2003}{2004}x+1+\frac{1}{x}=0$
의 근들의 역수의 합은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{2004}{2003}$

(B)

-1

(C)

$\frac{2003}{2004}$

(D)

(E)

$\frac{2004}{2003}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $\frac{2003}{2004}x + 1 + \frac{1}{x} = 0$은 두 근을 가진다. 그 두 근의 역수의 합을 구하라.

주어진 것: 방정식은 $\frac{2003}{2004}x + 1 + \frac{1}{x} = 0$이다; 두 근을 가지며, 이를 $r$과 $s$라 하자; 선택지: (A) $-\frac{2004}{2003}$, (B) $-1$, (C) $\frac{2003}{2004}$, (D) $1$, (E) $\frac{2004}{2003}$

구하는 것: 근의 역수의 합 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$

이해

문제 재정리: 방정식 $\frac{2003}{2004}x + 1 + \frac{1}{x} = 0$은 두 근을 가진다. 그 두 근의 역수의 합을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 방정식은 $x$ 항과 $\frac{1}{x}$ 항이 섞여 있으므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 먼저 분수를 없애 숨어 있던 이차식을 드러낸다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 근에 $r$과 $s$라는 이름을 붙여, 근을 직접 구하지 않고도 다룰 수 있게 한다. 결정적인 수는 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 근을 찾아 역수를 취하는 대신, 역수의 합 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$이 오직 합 $r+s$와 곱 $rs$에만 의존함을 알아차린다. 이 두 수는 이차식이 계수로 곧바로 내어 준다.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 1

분수를 없애 이차식 만들기

$\frac{1}{x}$ 항이 이 식이 사실은 이차식임을 가려 놓고 있으므로, 모든 항에 $x$를 곱한다.
$\frac{1}{x}$가 있으므로 $x=0$은 허용되지 않아, $x$를 곱해도 잃는 근은 없다.
그러면 $\frac{2003}{2004}x^2 + x + 1 = 0$이 된다.
남은 분수를 없애기 위해 전체에 $2004$를 곱하면 $2003x^2 + 2004x + 2004 = 0$이다.
이제 정수 계수를 가진 보통의 이차식이다.

$$\frac{2003}{2004}x^2 + x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2003x^2 + 2004x + 2004 = 0$$

💡 $x$를 곱하면 $\frac{1}{x}$ 항이 평범한 수가 되어 밑에 숨어 있던 이차식이 드러난다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

구할 것을 합과 곱으로 다시 쓰기

두 근을 $r$과 $s$라 하자.
우리가 원하는 것은 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$이다.
공통분모로 묶으면 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{s+r}{rs}=\frac{r+s}{rs}$이다.
이것이 핵심이다: 답은 오직 합 $r+s$와 곱 $rs$에만 달려 있으므로, 근 자체를 구할 필요가 전혀 없다.

$$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$$

💡 두 역수를 더하면 분자가 합이고 분모가 곱인 하나의 분수로 쌓인다.

#4 변수 도입하기 7.EE.A.1 단계 3

합과 곱을 읽어 내기

근이 $r$과 $s$인 이차식은 $a(x-r)(x-s)$로 쓸 수 있다.
전개하면 $a(x-r)(x-s)=a x^2 - a(r+s)x + a\,rs$이다.
이를 $2003x^2 + 2004x + 2004$와 맞추면($a=2003$) $-a(r+s)=2004$이고 $a\,rs=2004$이다.
따라서 $r+s=-\frac{2004}{2003}$, $rs=\frac{2004}{2003}$이다.

$$r+s=-\frac{2004}{2003},\qquad rs=\frac{2004}{2003}$$

💡 $(x-r)(x-s)$를 전개하면 가운데 계수가 합을, 상수항이 곱을 담고 있음이 보인다(둘 다 최고차 계수만큼 배로).

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 4

나눗셈으로 답 구하기

$\frac{r+s}{rs}$에 대입하면 $\frac{-\frac{2004}{2003}}{\frac{2004}{2003}}$이다.
분자와 분모는 크기가 같은 $\frac{2004}{2003}$이고 부호만 다르므로, 그 몫은 $-1$이다.
$2003$과 $2004$가 완전히 약분된다.
근의 역수의 합은 $-1$이고, 이것은 선택지 (B)이다.

$$\frac{r+s}{rs}=\frac{-\frac{2004}{2003}}{\frac{2004}{2003}}=-1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 분자와 분모가 크기는 같고 부호만 반대이면 그 비는 정확히 $-1$이다.

[1] #13 8.EE.C.7 $\frac{1}{x}$ 항이 이 식이 사실은 이차식임을 가려 놓고 있으므로, 모든 항에 $x$를 곱한다. $\frac{1}{x}$가 있으므로

[2] #16 6.EE.A.3 두 근을 $r$과 $s$라 하자. 우리가 원하는 것은 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$이다. 공통분모로 묶으면 $\frac{1}{r

[3] #4 7.EE.A.1 근이 $r$과 $s$인 이차식은 $a(x-r)(x-s)$로 쓸 수 있다. 전개하면 $a(x-r)(x-s)=a x^2 - a(r+s)x + a\,

[4] #7 7.NS.A.2 $\frac{r+s}{rs}$에 대입하면 $\frac{-\frac{2004}{2003}}{\frac{2004}{2003}}$이다. 분자와 분모는

검토

합리성 확인: 깔끔한 약분은 이 문제가 일부러 이렇게 만들어졌다는 신호다. 임의의 이차식 $ax^2+bx+c=0$에서 근의 역수의 합은 $\frac{r+s}{rs}=\frac{-b/a}{c/a}=-\frac{b}{c}$이다 — 최고차 계수 $a$는 결코 들어오지 않는다. 여기서 $b=2004$, $c=2004$이므로 값은 $-\frac{2004}{2004}=-1$이고, 앞의 $2003$이 무엇이든 상관없다. 어색한 분수 $\frac{2003}{2004}$은 함정이었고, 같은 값의 가운데 계수와 상수항이 답을 $-1$로 고정한다. 계수를 근의 합·곱과 연결하는 것은 대수(Algebra I) 내용이지만, 계산 자체는 중학교 수준의 분수 계산이다.

대안 접근: $y=\frac{1}{x}$로 바로 치환하면 $x=\frac{1}{y}$이다. 방정식은 $\frac{2003}{2004}\cdot\frac{1}{y}+1+y=0$이 되고, $y$를 곱하면 $y^2+y+\frac{2003}{2004}=0$이다. 이 새 방정식의 근이 바로 역수 $\frac{1}{r}$과 $\frac{1}{s}$이며, $y^2+y+\frac{2003}{2004}$의 근의 합은 $-\frac{1}{1}=-1$이다 — 답을 단 한 걸음에 읽어 낸다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (방정식에 $x$를, 이어서 $2004$를 곱해 두 분수를 모두 없애고 $2003x^2+2004x+2004=0$을 만드는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($\frac{1}{r}+\frac{1}{s}$을 하나의 동치식 $\frac{r+s}{rs}$로 묶는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($a(x-r)(x-s)$를 전개하고 계수를 맞추어 $r+s=-\frac{2004}{2003}$과 $rs=\frac{2004}{2003}$을 읽어 내는 데 사용.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers ($-\frac{2004}{2003}$을 $\frac{2004}{2003}$으로 나누어 최종 값 $-1$을 얻는 데 사용.)

⭐ 이차식의 근의 역수의 합은 그냥 $-\frac{b}{c}$(가운데 계수를 상수항으로 나눈 값)이므로, 근을 구하지 않고도 답할 수 있다.