AMC 10 · 2003 · #18

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulasquadratic-equationsfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

방정식

\frac{2003}{2004}x+1+\frac{1}{x}=0

은 두 개의 근을 가지며, 이를

r

s

라 하자. 두 근의 역수의 합

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}

을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{2004}{2003}$

(B)

-1

(C)

$\frac{2003}{2004}$

(D)

(E)

$\frac{2004}{2003}$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 방정식은 x 항과 1/x 항이 섞여 있으므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 먼저 분수를 없애 숨어 있던 이차식을 드러낸다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 근에 r과 s라는 이름을 붙여, 근을 직접 구하지 않고도 다룰 수 있게 한다. 결정적인 수는 도구 #16(관점 바꾸기)이다: 근을 찾아 역수를 취하는 대신, 역수의 합 1/r+1/s이 오직 합 r+s와 곱 rs에만 의존함을 알아차린다. 이 두 수는 이차식이 계수로 곧바로 내어 준다.

1STEP 1

분수를 없애 이차식 만들기

모든 항에 $x$ 를 곱하고( $x=0$ 은 근이 아니다) 다시 2004를 곱하면 $2003x^{2}+2004x+2004=0$ 이다.

2003/2004x² + x + 1 = 0 → 2003x² + 2004x + 2004 = 0

2STEP 2

구할 것을 합과 곱으로 다시 쓰기

통분하면 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$ , 곧 합과 곱만 있으면 된다.

1/r+1/s=(r+s)/rs

3STEP 3

합과 곱을 읽어 내기

$a(x-r)(x-s)$ 를 정리한 이차식과 맞추면 $r+s=-\frac{2004}{2003}$ , $rs=\frac{2004}{2003}$ 이다.

r+s=-2004/2003, rs=2004/2003

4STEP 4

나눗셈으로 답 구하기

분자와 분모는 크기가 같고 부호만 반대이므로 $\frac{r+s}{rs}=-1$ , 곧 선택지 (B)이다.

(r+s)/rs=-2004/2003/2004/2003=-1 → (B)

정답

-1

깔끔한 약분은 이 문제가 일부러 이렇게 만들어졌다는 신호다. 임의의 이차식 ax²+bx+c=0에서 근의 역수의 합은 (r+s)/rs=(-b/a)/(c/a)=-b/c이다 — 최고차 계수 a는 결코 들어오지 않는다. 여기서 b=2004, c=2004이므로 값은 -2004/2004=-1이고, 앞의 2003이 무엇이든 상관없다. 어색한 분수 2003/2004은 함정이었고, 같은 값의 가운데 계수와 상수항이 답을 -1로 고정한다. 계수를 근의 합·곱과 연결하는 것은 대수(Algebra I) 내용이지만, 계산 자체는 중학교 수준의 분수 계산이다.

💡핵심 정리

이차식의 근의 역수의 합은 그냥 -b/c(가운데 계수를 상수항으로 나눈 값)이므로, 근을 구하지 않고도 답할 수 있다.

분수를 없애 이차식 만들기
구할 것을 합과 곱으로 다시 쓰기
합과 곱을 읽어 내기
나눗셈으로 답 구하기

분수를 없애 이차식 만들기

구할 것을 합과 곱으로 다시 쓰기

합과 곱을 읽어 내기

나눗셈으로 답 구하기

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