AMC 10 · 2003 · #2

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Rockham 축구 리그의 회원들은 양말과 티셔츠를 산다. 양말은 한 켤레에 $4이고, 티셔츠는 각각 양말 한 켤레보다 $5 더 비싸다. 각 회원은 홈 경기를 위해 양말 한 켤레와 셔츠 하나가, 원정 경기를 위해 다시 양말 한 켤레와 셔츠 하나가 필요하다. 전체 비용이 $2366이라면, 리그에는 회원이 몇 명 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

143

(D)

182

(E)

286

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양말은 한 켤레에 $\$4$ 이고, 티셔츠는 양말 한 켤레보다 $\$5$ 더 비싸다. 모든 회원은 홈 경기를 위해 양말 한 켤레와 셔츠 하나를, 원정 경기를 위해 다시 양말 한 켤레와 셔츠 하나를 산다. 리그 전체가 쓴 돈은 $\$2366$ 이다. 이 물건을 산 회원 수를 구하라.

주어진 것: 양말 한 켤레는 $\$4$ 이다; 티셔츠는 양말 한 켤레보다 $\$5$ 더 비싸다; 각 회원은 홈용 양말과 셔츠, 그리고 원정용 양말과 셔츠가 필요하다; 모든 회원이 쓴 총액은 $\$2366$ 이다

구하는 것: 리그의 회원 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

$\$2366$ 이라는 총액은 통째로 보면 겁나지만, 일을 작은 부분으로 쪼개면 쉬워진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이를 세 단계로 나눈다: 먼저 티셔츠 가격을 구하고, 다음으로 회원 한 명이 쓰는 돈을 구하고, 마지막으로 그 똑같은 크기의 회원 비용이 $\$2366$ 안에 몇 개 들어가는지 본다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 달러를 헷갈리지 않게 지켜 주며, 두 개씩이 아니라 양말 한 켤레와 셔츠 하나만 사는 흔한 함정을 막는다. 회원 한 명의 비용이 하나의 수가 되면, 마지막 단계는 나눗셈 하나면 된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 1

티셔츠 한 장 값 구하기

티셔츠는 양말 한 켤레보다 $\$5$ 더 비싸고, 양말 한 켤레는 $\$4$ 이다.
양말 값에 $\$5$ 를 더하면 셔츠 값이 나온다.

$$4 + 5 = 9 \text{ 달러 (티셔츠 한 장)}$$

💡 "$\$5$ 더 비싸다"는 양말 값에 $\$5$ 를 더한다는 뜻일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 2

회원 한 명의 비용 더하기

각 회원은 홈과 원정을 뛰므로 양말 두 켤레와 티셔츠 두 장을 산다.
하나씩이 아니다.
양말 두 켤레는 $2 \times 4 = 8$ 달러, 셔츠 두 장은 $2 \times 9 = 18$ 달러이다.
이 둘을 더하면 회원 한 명이 쓰는 돈이 된다.

$$2\times 4 + 2\times 9 = 8 + 18 = 26 \text{ 달러 (회원 한 명)}$$

💡 홈과 원정은 모든 것을 두 번 산다는 뜻이므로, 회원 한 명의 비용은 양말 두 켤레와 셔츠 두 장이다.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.B.6 단계 3

$2366 안에 회원이 몇 명 들어가는지 세기

모든 회원이 똑같이 $\$26$ 을 쓰므로, 회원 수는 총액을 회원 한 명의 비용으로 나눈 것이다. $\$2366$ 을 $\$26$ 으로 나눈다. $91$ 로 딱 나누어떨어지며, 이는 전체가 똑같은 $\$26$ 조각들로 이루어졌음을 확인해 준다.
이것이 선택지 (B)이다.

$$2366 \div 26 = 91 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 모든 회원의 비용이 같은 크기라면, 회원 수는 총액을 같은 조각으로 나눈 것일 뿐이다.

[1] #7 2.OA.A.1 티셔츠는 양말 한 켤레보다 $\$5$ 더 비싸고, 양말 한 켤레는 $\$4$ 이다. 양말 값에 $\$5$ 를 더하면 셔츠 값이 나온다.

[2] #7 3.OA.D.8 각 회원은 홈과 원정을 뛰므로 양말 두 켤레와 티셔츠 두 장을 산다. 하나씩이 아니다. 양말 두 켤레는 $2 \times 4 = 8$ 달러, 셔

[3] #13 5.NBT.B.6 모든 회원이 똑같이 $\$26$ 을 쓰므로, 회원 수는 총액을 회원 한 명의 비용으로 나눈 것이다. $\$2366$ 을 $\$26$ 으로 나눈다

검토

합리성 확인: $91$ 명이 정말 $\$2366$ 을 쓰는지 확인한다: $91 \times 26 = 2366$ 으로 남는 돈 없이 정확히 맞으므로 $91$ 이 옳다. 답의 크기가 적당해야 한다는 것도 쉽게 알 수 있다 — 만약 회원 한 명당 $\$13$(양말 한 켤레와 셔츠 하나뿐)으로 잘못 계산했다면 $182$ 가 나오는데, 이것이 선택지 (D)이다. 그것이 바로 홈과 원정의 두 배를 잊었을 때 걸리는 함정 답이므로, 그 절반인 $91$ 에 도달했다는 것은 두 배를 제대로 처리했다는 좋은 신호이다.

대안 접근: 대수로 세운다: 회원 수를 $n$ 이라 하자. 각 회원이 $26$ 달러를 쓰므로 $26n = 2366$ 이다. 풀면 $n = 2366/26 = 91$, 선택지 (B)이다. 같은 계산을 하나의 식으로 쓴 것이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.OA.A.1 100 이내의 덧셈과 뺄셈으로 한 단계·두 단계 문장제 풀기 ("양말보다 $\$5$ 더 비싸다"를 티셔츠 값 $4+5=9$ 로 바꾸기.)
3.OA.D.8 100 이내에서 사칙연산으로 두 단계 문장제 풀기 (양말 두 켤레와 셔츠 두 장을 회원 한 명의 비용 $2\times4 + 2\times9 = 26$ 으로 합치기.)
5.NBT.B.6 네 자리까지의 피제수와 두 자리 제수로 자연수 몫 구하기 (총액 $\$2366$ 을 회원 한 명당 비용 $\$26$ 으로 나누어 $91$ 명 구하기.)

⭐ 먼저 한 사람이 쓰는 돈을 구하고, 그다음 총액을 그 돈으로 나누면 몇 명이었는지 알 수 있다.