AMC 10 · 2006 · #5

학년 5 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-arithmeticratio-proportionmental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Doug와 Dave가 똑같은 크기의 조각 $8$ 개로 나뉜 피자 하나를 함께 먹었다. Doug는 플레인 피자를 원했지만, Dave는 피자의 절반에 앤초비를 얹기를 원했다. 플레인 피자의 값은 $8$ 달러였고, 절반에 앤초비를 얹는 데에는 추가로 $2$ 달러가 들었다. Dave는 앤초비 피자 조각을 모두 먹고 플레인 조각 하나를 먹었다. Doug는 나머지를 먹었다. 각자 자기가 먹은 만큼 값을 냈다. Dave는 Doug보다 몇 달러를 더 냈는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 피자는 크기가 같은 $8$ 조각으로 나뉜다. 플레인 피자는 $8$ 달러이고, 한쪽 절반(그쪽 $4$ 조각)에 앤초비를 올리면 $2$ 달러가 더 든다. 데이브는 앤초비 조각 $4$ 개를 전부와 플레인 조각 $1$ 개를 먹었고, 더그는 남은 플레인 조각 $3$ 개를 먹었다. 각자 자기가 먹은 조각만큼만 낸다. 데이브가 더그보다 몇 달러 더 냈는지 구한다.

주어진 것: 피자는 크기가 같은 $8$ 조각으로 되어 있다; 플레인 피자는 모두 $8$ 달러다; 한쪽 절반(그쪽 $4$ 조각)에 앤초비를 올리면 $2$ 달러가 더 든다; 데이브는 앤초비 조각 $4$ 개 전부와 플레인 조각 $1$ 개를 먹었다; 더그는 남은 플레인 조각 $3$ 개를 먹었다; 각자 자기가 먹은 만큼만 낸다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 데이브가 더그보다 몇 달러 더 냈는가

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 결국 조각당 달러가 핵심이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 중심이 된다 — 플레인 조각 하나와 앤초비 조각 하나의 값을 구한다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 사람을 따로 다뤄 데이브의 조각과 더그의 조각을 각각 더한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산을 점검한다: 두 지불액은 여전히 $\$10$ 총액으로 합쳐져야 하므로 실수가 있으면 곧 드러난다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.3 단계 1

플레인 조각 하나의 값 구하기

플레인 피자는 $8$ 달러이고 크기가 같은 $8$ 조각으로 잘리므로, 모든 조각이 플레인 비용을 똑같이 나눠 진다.
플레인 비용을 고르게 나누면 조각마다 $8 \div 8 = 1$ 달러의 플레인 비용을 갖는다.

$\dfrac{\$8}{8\text{ 조각}} = \$1 \text{ (조각당)}$

💡 크기가 같은 조각들은 플레인 값을 똑같이 나누므로 각 조각은 $\$8$ 의 공평한 몫만큼이다.

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.3 단계 2

앤초비 조각 하나의 값 구하기

앤초비에 드는 $2$ 달러는 앤초비가 올라간 절반, 즉 $4$ 조각에만 해당한다.
그 $4$ 조각에 나누면 앤초비 토핑은 조각마다 $2 \div 4 = 0.50$ 달러를 더한다.
따라서 앤초비 조각은 플레인 몫 $\$1$ 에 토핑 $\$0.50$ 을 더한 $\$1.50$ 이고, 플레인 조각은 그대로 $\$1$ 이다.

$\dfrac{\$2}{4\text{ 앤초비 조각}} = \$0.50;\quad \$1 + \$0.50 = \$1.50 \text{ (앤초비 조각당)}$

💡 토핑 요금은 실제로 앤초비가 올라간 조각에만 속하므로 그 네 조각에만 나눈다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 3

데이브가 먹은 것 합하기

데이브는 앤초비 조각 $4$ 개 전부와 플레인 조각 $1$ 개를 먹었다.
앤초비 조각은 $4 \times \$1.50 = \$6$ 이고 플레인 조각은 $\$1$ 이다. 데이브의 총액은 $\$6 + \$1 = \$7$ 이다.

$4 \times \$1.50 + \$1 = \$6 + \$1 = \$7$

💡 데이브가 먹은 각 조각을 그 조각의 값으로 물리고 모두 더한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

더그의 몫을 합하고 비교하기

더그는 남은 플레인 조각 $3$ 개를 먹었으므로 $3 \times \$1 = \$3$ 을 냈다.
확인해 보면 $\$7 + \$3 = \$10$ 으로 전체 금액과 맞는다. 데이브는 더그보다 $\$7 - \$3 = \$4$ 더 냈고, 이는 선택지 (D)다.

$3 \times \$1 = \$3;\quad \$7 - \$3 = \$4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$

💡 더그는 플레인 조각만 먹었으므로 그의 값은 플레인 값에 먹은 개수를 곱한 것뿐이다.

[1] #8 5.NF.B.3 플레인 피자는 $8$ 달러이고 크기가 같은 $8$ 조각으로 잘리므로, 모든 조각이 플레인 비용을 똑같이 나눠 진다. 플레인 비용을 고르게 나누면

[2] #8 5.NF.B.3 앤초비에 드는 $2$ 달러는 앤초비가 올라간 절반, 즉 $4$ 조각에만 해당한다. 그 $4$ 조각에 나누면 앤초비 토핑은 조각마다 $2 \div

[3] #7 5.NBT.B.7 데이브는 앤초비 조각 $4$ 개 전부와 플레인 조각 $1$ 개를 먹었다. 앤초비 조각은 $4 \times \$1.50 = \$6$ 이고 플레인

[4] #7 4.OA.A.3 더그는 남은 플레인 조각 $3$ 개를 먹었으므로 $3 \times \$1 = \$3$ 을 냈다. 확인해 보면 $\$7 + \$3 = \$10$

검토

합리성 확인: 두 지불액은 전체 금액을 다시 이뤄야 하는데, $\$7 + \$3 = \$10 = \$8 + \$2$ 이므로 빠지거나 이중으로 센 것이 없다. 데이브는 더 많은 조각을, 그것도 더 비싼 조각을 먹었으니 더 많이 낸 것이 자연스럽고, $\$4$ 라는 차이는 한 자리 선택지들 사이에 무리 없이 들어가며 불가능한 양 끝값과도 거리가 있다.

대안 접근: 조각당 값을 따지지 않고 토핑으로 생각한다. 앤초비가 없다면 $8$ 조각 모두 $\$1$ 씩이므로 데이브의 $5$ 조각은 $\$5$, 더그의 $3$ 조각은 $\$3$ 으로 차이가 $\$2$ 다. 앤초비 요금 $\$2$ 는 데이브 혼자 모든 앤초비 조각을 먹었으니 전부 데이브가 진다. 그래서 차이가 $\$2$ 더 벌어져 총 차이는 $\$2 + \$2 = \$4$, 역시 (D)다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.B.3 Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator (플레인 $\$8$ 을 $8$ 조각에, 토핑 $\$2$ 를 $4$ 조각에 나눠 각 조각의 값을 구하기.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths ($4 \times \$1.50 = \$6$ 을 계산하고 플레인 조각을 더해 데이브의 $\$7$ 에 이르기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (더그의 조각을 합하고 빼서 데이브가 얼마나 더 냈는지 구하기.)

⭐ 먼저 각 종류의 조각 값을 구하고, 앤초비 요금은 앤초비가 올라간 조각에만 붙인 뒤, 각자 자기가 먹은 만큼만 값을 매겨라.