AMC 10 · 2003 · #20

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

base-conversionprobability-basicinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: base-conversion

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

십진법 세 자리 수 $n$ 을 무작위로 하나 고른다. $n$ 의 $9$ 진법 표현과 $11$ 진법 표현이 모두 세 자리 수가 될 확률에 가장 가까운 값은 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.3

(B)

0.4

(C)

0.5

(D)

0.6

(E)

0.7

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 자리 십진수 $n$(즉 $100$부터 $999$까지)을 무작위로 하나 고른다. 이 $n$을 $9$진법으로 다시 쓸 때도 자릿수가 정확히 세 자리이고, $11$진법으로 다시 쓸 때도 정확히 세 자리일 확률을 구하려 한다. 그런 다음 그 확률이 주어진 값들 중 어느 것에 가장 가까운지 말한다.

주어진 것: $n$은 무작위로 고른 세 자리 십진수이므로 $100 \le n \le 999$; $n$의 $9$진법 표현이 정확히 세 자리여야 한다; $n$의 $11$진법 표현이 정확히 세 자리여야 한다; 선택지: (A) $0.3$, (B) $0.4$, (C) $0.5$, (D) $0.6$, (E) $0.7$

구하는 것: $9$진법과 $11$진법에서 동시에 세 자리가 되는 $n$의 모임; 확률 (유리한 개수) $\div$ (전체 개수)를 가장 가까운 선택지로 반올림한 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #14 극단의 원리, #1 그림 그리기

각 진법이 저마다의 조건을 주므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이렇게 나눈다: $9$진법에서 세 자리가 되는 $n$의 정확한 범위를 구하고, $11$진법에서도 똑같이 구한 뒤, 주어진 십진법 조건까지 함께 만족하는 $n$만 남긴다. '$b$진법에서 세 자리'를 깔끔한 범위로 바꾸기 위해 도구 #14(극단의 원리)를 쓴다: 어떤 진법에서 가장 작은 세 자리 수와 가장 큰 세 자리 수가 경계가 되고, 진법의 거듭제곱이 바로 그 가장자리에 놓인다. 마지막으로 도구 #1(그림 그리기) — 세 범위가 겹치는 수직선 — 으로 공통으로 겹치는 구간을 한눈에 보이게 하면, 그 구간을 세어 나누기만 하면 된다.

실행 — 정답: E

#14 극단의 원리 6.EE.A.1 단계 1

'b진법에서 세 자리'의 뜻

$b$진법에서 가장 작은 세 자리 수는 $100_b$이고, 이는 $b^2$과 같다.
가장 큰 세 자리 수는 맨 윗자리 숫자 $b-1$을 세 번 쓴 것으로, 그 값은 $b^3$보다 하나 작다.
따라서 어떤 수가 $b$진법에서 정확히 세 자리가 되는 것은 바로 $b^2$부터 $b^3-1$까지에 놓일 때이다.
이 한 가지 사실이 문제의 모든 진법을 여는 열쇠이다.

$$b\text{진법에서 세 자리} \iff b^2 \le n \le b^3-1$$

💡 가장 작은 세 자리 수는 $b^2$의 자리가 처음 켜지는 곳이고, 가장 큰 수는 $b^3$의 자리가 켜지기 바로 직전이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 2

각 진법의 범위 적기

경계를 대입한다.
$9$진법: $9^2=81$, $9^3-1=728$이므로 세 자리는 $81 \le n \le 728$이다.
$11$진법: $11^2=121$, $11^3-1=1330$이므로 세 자리는 $121 \le n \le 1330$이다.
$10$진법은 주어진 후보 전체로 $100 \le n \le 999$이다.
이제 세 개의 말 조건 대신 세 개의 간단한 범위를 얻었다.

$$81 \le n \le 728 \;(9\text{진법}),\quad 121 \le n \le 1330 \;(11\text{진법}),\quad 100 \le n \le 999 \;(10\text{진법})$$

💡 각 '세 자리' 규칙은 낮은 끝과 높은 끝일 뿐이므로, 말을 구간으로 바꾸면 된다.

#1 그림 그리기 6.NS.C.7 단계 3

세 범위를 겹치기

세 조건이 한꺼번에 성립하려면 $n$은 세 낮은 끝 중 가장 큰 값 이상이면서 세 높은 끝 중 가장 작은 값 이하여야 한다.
낮은 끝은 $81$, $121$, $100$이고 그중 가장 큰 값은 $121$이다.
높은 끝은 $728$, $1330$, $999$이고 그중 가장 작은 값은 $728$이다.
따라서 $11$진법의 바닥과 $9$진법의 천장이 조건을 좌우하며, 모든 유효한 $n$은 $121$부터 $728$까지 놓인다.
수직선에 막대 셋을 그려 보면, 셋이 모두 덮는 구간은 $121$부터 $728$까지이다.

$$\max(81,121,100)=121,\quad \min(728,1330,999)=728 \;\Rightarrow\; 121 \le n \le 728$$

💡 '셋 다 동시에' 창은 가장 높은 출발선에서 시작해 가장 낮은 결승선에서 끝난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.5 단계 4

당첨을 세어 나누기

$121$부터 $728$까지의 정수는 $728-121+1 = 608$개이다.
세 자리 십진수 전체 후보는 $999-100+1 = 900$개이다.
따라서 확률은 $\tfrac{608}{900} \approx 0.676$이다.
선택지 중 $0.676$에 가장 가까운 것은 $0.7$이므로, 답은 (E)이다.

$$\dfrac{728-121+1}{900} = \dfrac{608}{900} \approx 0.676 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ 0.7$$

💡 확률은 주머니 속 전체 중에서 당첨이 몇 개인가일 뿐이다.

[1] #14 6.EE.A.1 $b$진법에서 가장 작은 세 자리 수는 $100_b$이고, 이는 $b^2$과 같다. 가장 큰 세 자리 수는 맨 윗자리 숫자 $b-1$을 세 번

[2] #7 6.EE.B.8 경계를 대입한다. $9$진법: $9^2=81$, $9^3-1=728$이므로 세 자리는 $81 \le n \le 728$이다. $11$진법: $1

[3] #1 6.NS.C.7 세 조건이 한꺼번에 성립하려면 $n$은 세 낮은 끝 중 가장 큰 값 이상이면서 세 높은 끝 중 가장 작은 값 이하여야 한다. 낮은 끝은 $81$

[4] #7 7.SP.C.5 $121$부터 $728$까지의 정수는 $728-121+1 = 608$개이다. 세 자리 십진수 전체 후보는 $999-100+1 = 900$개이다.

검토

합리성 확인: 유리한 창 $121$부터 $728$까지는 $100$부터 $999$까지의 후보 안에 넉넉히 들어가 있고, 그 폭의 3분의 2보다 조금 더($900$ 중 $608$)를 덮으므로, $0.68$ 근처의 확률은 타당하다. 아주 작거나 $1$에 가까울 수는 없으므로 낮은 선택지들은 배제되고, $608/900$이 $0.65$를 넘겨 반올림되므로 $0.7$이 $0.6$을 이긴다. 경계를 빠르게 확인해 보면: $120$은 $11$진법에서 $AA_{11}$(두 자리)이지만 $121 = 100_{11}$(세 자리)이고, $729 = 1000_9$(네 자리)인 반면 $728 = 888_9$(세 자리)이므로, 가장자리가 정확히 $121$과 $728$임이 확인된다.

대안 접근: 세 범위를 모두 적지 않고 좌우하는 짝만 곧바로 찾는다. 제곱이 가장 큰 진법이 가장 빡빡한 바닥을 주므로 $11$진법이 낮은 가장자리를 $11^2 = 121$로 정하고, 세제곱이 가장 작은 진법이 가장 빡빡한 천장을 주므로 $9$진법이 높은 가장자리를 $9^3 - 1 = 728$로 정한다(십진법 자신의 한계 $100$과 $999$는 둘 다 더 헐겁다). 그러면 곧바로 창 $121 \le n \le 728$과 같은 개수 $608$ 나누기 $900 \approx 0.68$이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents ($b^2$과 $b^3-1$을 계산해 '$b$진법에서 세 자리'를 수의 경계로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line (각 진법의 세 자리 조건을 $81 \le n \le 728$ 같은 구간으로 쓰는 데 사용.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (낮은 끝들과 높은 끝들을 비교해 공통 창의 가장 빡빡한 바닥($121$)과 천장($728$)을 찾는 데 사용.)
7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 (유리한 개수 나누기 전체 개수로 확률 $608/900 \approx 0.676$을 만드는 데 사용.)

⭐ 어떤 수가 $b$진법에서 세 자리가 되는 것은 정확히 $b^2$부터 $b^3-1$까지일 때이므로, 여러 진법을 한꺼번에 만족시키려면 가장 높은 바닥과 가장 낮은 천장을 잡고 그 사이에 남는 것을 세면 된다.