AMC 10 · 2003 · #21
학년 7 countingPat은 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 쿠키만 담긴 쟁반에서 쿠키 여섯 개를 고르려고 합니다. 쟁반에는 이 세 종류의 쿠키가 각각 최소 여섯 개씩 있습니다. 여섯 개 쿠키의 서로 다른 묶음을 몇 가지 고를 수 있습니까?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Pat은 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 세 종류가 있는 쟁반에서 쿠키 여섯 개를 고른다. 각 종류는 최소 여섯 개씩 있어서 어떤 종류도 모자라지 않는다. 집은 순서는 중요하지 않고, 각 종류가 몇 개씩 들어갔는지만 중요하다. 서로 다른 여섯 개 쿠키 묶음이 몇 가지 가능한지 세어라.
주어진 것: 쿠키는 정확히 여섯 개를 고른다.; 고를 수 있는 종류는 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 세 가지다.; 각 종류가 최소 여섯 개씩 있어서 어떤 종류도 떨어지지 않는다.; 묶음은 각 종류가 몇 개인지로만 정해지므로 집은 순서는 상관없다.; 선택지: (A) $22$, (B) $25$, (C) $27$, (D) $28$, (E) $729$.
구하는 것: 여섯 개 쿠키의 서로 다른 묶음의 개수, 즉 초코칩·오트밀·땅콩버터가 각각 몇 개인지 말하는 방법의 수.
이해
문제 재정리: Pat은 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 세 종류가 있는 쟁반에서 쿠키 여섯 개를 고른다. 각 종류는 최소 여섯 개씩 있어서 어떤 종류도 모자라지 않는다. 집은 순서는 중요하지 않고, 각 종류가 몇 개씩 들어갔는지만 중요하다. 서로 다른 여섯 개 쿠키 묶음이 몇 가지 가능한지 세어라.
주어진 것: 쿠키는 정확히 여섯 개를 고른다.; 고를 수 있는 종류는 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 세 가지다.; 각 종류가 최소 여섯 개씩 있어서 어떤 종류도 떨어지지 않는다.; 묶음은 각 종류가 몇 개인지로만 정해지므로 집은 순서는 상관없다.; 선택지: (A) $22$, (B) $25$, (C) $27$, (D) $28$, (E) $729$.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기
한 묶음은 결국 합이 $6$이 되는 세 정수 $(c, o, p)$ — 초코칩, 오트밀, 땅콩버터의 개수 — 를 고르는 것과 같다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 빠뜨리거나 중복 없이 이 경우들을 세는 안전한 방법으로, 정해진 순서대로 모든 경우를 훑는다. 목록을 짧게 하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 초코칩 개수 $c$를 먼저 고정하면, 남은 쿠키에 대한 더 작은 두 종류 세기 문제로 바뀐다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 그 작은 개수들이 $7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$이라는 깔끔한 나열을 이루는 것을 알아채면, 긴 집계 대신 빠른 덧셈으로 총합을 얻는다. 솔깃한 $729 = 3^6$은 쿠키를 순서대로 집고 여섯 번의 선택이 각각 독립적으로 세 종류 중 하나일 때 나오는 값인데, 묶음은 순서를 무시하므로 실제 개수는 훨씬 작다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.8 단계 1 쿠키를 세기 문제로 바꾸기
- 어떤 묶음이든 세 정수로 나타낸다: 초코칩 $c$개, 오트밀 $o$개, 땅콩버터 $p$개.
- 묶음에 쿠키가 여섯 개 있으므로 $c + o + p = 6$을 만족하고, 각각은 $0$ 이상이다.
- 두 묶음이 같은 묶음이라는 것은 세 개수가 같다는 뜻이므로, 묶음을 세는 것은 $c + o + p = 6$의 정수해를 세는 것과 같다.
💡 쿠키 묶음은 각 종류가 몇 개인지로 완전히 정해지므로, 묶음을 나열하는 것은 합이 $6$인 수의 삼중쌍을 나열하는 것과 같다.
7.SP.C.8 단계 2 초코칩 개수를 먼저 고정하기
- 모든 묶음을 초코칩 개수로 분류한다.
- 그 개수 $c$는 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$이 될 수 있다.
- $c$를 고르고 나면 남은 $6 - c$개 쿠키는 오트밀과 땅콩버터 두 종류로만 나뉘어 $o + p = 6 - c$가 된다.
- 그래서 큰 세 종류 문제가 $c$의 각 값마다 하나씩, 일곱 개의 작은 두 종류 문제로 쪼개진다.
💡 한 종류의 개수를 먼저 고정하면 어려운 세 갈래 나눔이 이미 아는 쉬운 두 갈래 나눔으로 줄어든다.
4.OA.C.5 단계 3 두 종류 나눔 세기
- 남은 개수 $L = 6 - c$가 정해졌을 때, 정수로 $o + p = L$이 되는 방법은 몇 가지일까?
- $o$를 $0$부터 $L$까지 두면, 각 $o$가 $p = L - o$를 정한다.
- 그러면 $L + 1$가지 나눔이 나온다.
- 그래서 $c = 0$이면 $L = 6$이라 $7$가지, $c = 1$이면 $6$가지, 이어서 $5, 4, 3, 2$가지, $c = 6$이면 $L = 0$이라 단 $1$가지(모두 초코칩)다.
- 개수들은 $7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$이다.
💡 $L$개 쿠키를 이름 붙은 두 무더기로 나누는 것은 첫 무더기에 몇 개를 넣을지 고르는 것뿐이며, $0$부터 $L$까지라 $L+1$가지다.
4.OA.A.3 단계 4 모든 경우를 더하기
- 일곱 경우는 모든 묶음을 한 번씩 빠짐없이 덮고 겹치지 않는다.
- 각 묶음의 초코칩 개수가 정확히 하나이기 때문이다.
- 개수들을 더한다: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$.
- 그래서 여섯 개 쿠키의 서로 다른 묶음은 $28$가지이고, 이는 선택지 (D)다.
💡 일곱 경우가 서로 겹치지 않고 완전하므로 총합은 그저 그들의 합이다.
7.SP.C.8 어떤 묶음이든 세 정수로 나타낸다: 초코칩 $c$개, 오트밀 $o$개, 땅콩버터 $p$개. 묶음에 쿠키가 여섯 개 있으므로 $c + o + p 7.SP.C.8 모든 묶음을 초코칩 개수로 분류한다. 그 개수 $c$는 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$이 될 수 있다. $c$를 고르고 나면 남은 $6 4.OA.C.5 남은 개수 $L = 6 - c$가 정해졌을 때, 정수로 $o + p = L$이 되는 방법은 몇 가지일까? $o$를 $0$부터 $L$까지 두면, 4.OA.A.3 일곱 경우는 모든 묶음을 한 번씩 빠짐없이 덮고 겹치지 않는다. 각 묶음의 초코칩 개수가 정확히 하나이기 때문이다. 개수들을 더한다: $7 + 검토
합리성 확인: 답 $28$은 선택지 사이에서 타당하게 자리 잡는다. 함정 $729 = 3^6$은 여섯 개 쿠키를 하나씩 차례로 집고 각 선택이 자유롭게 세 종류 중 하나일 때만 맞는데, 그것은 순서를 세는 것이고 여기서는 순서를 무시하므로 실제 총합은 $729$보다 훨씬 작아야 해서 (E)는 제외된다. 작은 오답 $22, 25, 27$은 한두 경우를 빠뜨린 근접값이며, 꼼꼼한 경우별 훑기는 정확히 $28$에 도달한다. 경계값 확인도 통과한다: 한 종류로만 된 묶음(모두 초코칩, 모두 오트밀, 모두 땅콩버터)은 $28$개 중 $3$개인데 이는 맞아떨어진다.
대안 접근: 막대와 별(stars and bars): 쿠키 여섯 개를 한 줄의 별 여섯 개로 보고, 초코칩이 끝나는 곳과 땅콩버터가 시작하는 곳을 표시할 칸막이 두 개를 넣는다. 별 여섯 개와 칸막이 두 개의 모든 배열이 하나의 묶음을 주며, 여덟 자리 중 칸막이 두 개를 놓는 방법은 $\binom{6+2}{2} = \binom{8}{2} = 28$가지 — 한 번에 얻는 똑같은 $28$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (쿠키 선택을 합이 $6$인 정수 삼중쌍 $(c,o,p)$의 조직적 세기로 바꾸고, 빠뜨리거나 중복 없이 경우별로 훑는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 (초코칩 개수를 고정하면 두 종류 나눔이 $L+1$가지가 되어 경우 개수가 $7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$ 패턴을 따름을 알아채는 데 사용.)4.OA.A.3네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (일곱 개의 경우 개수 $7+6+5+4+3+2+1$을 더해 총합 $28$에 도달하는 데 사용.)
⭐ 각 종류의 개수만 중요할 때는 한 종류를 먼저 고정해 순서대로 묶음을 나열하라 — 여기서는 $7+6+5+4+3+2+1 = 28$이 된다.
⭐ 각 종류의 개수만 중요할 때는 한 종류를 먼저 고정해 순서대로 묶음을 나열하라 — 여기서는 $7+6+5+4+3+2+1 = 28$이 된다.
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