AMC 10 · 2003 · #21

학년 7 counting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
combinations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
Pat은 쟁반에서 쿠키 여섯 개를 고른다. 쟁반에는 초코칩, 오트밀, 땅콩버터 세 종류가 있고, 각 종류가 최소 여섯 개씩 있어서 어떤 종류도 모자라지 않는다. 집는 순서는 중요하지 않고 각 종류가 몇 개씩 들어갔는지만 중요하다. 서로 다른 여섯 개 쿠키 묶음이 몇 가지 가능한지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
22
(B)
25
(C)
27
(D)
28
(E)
729

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

한 묶음은 결국 합이 6이 되는 세 정수 (c, o, p) — 초코칩, 오트밀, 땅콩버터의 개수 — 를 고르는 것과 같다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 빠뜨리거나 중복 없이 이 경우들을 세는 안전한 방법으로, 정해진 순서대로 모든 경우를 훑는다. 목록을 짧게 하려고 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 초코칩 개수 c를 먼저 고정하면, 남은 쿠키에 대한 더 작은 두 종류 세기 문제로 바뀐다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 그 작은 개수들이 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1이라는 깔끔한 나열을 이루는 것을 알아채면, 긴 집계 대신 빠른 덧셈으로 총합을 얻는다. 솔깃한 729 = 3⁶은 쿠키를 순서대로 집고 여섯 번의 선택이 각각 독립적으로 세 종류 중 하나일 때 나오는 값인데, 묶음은 순서를 무시하므로 실제 개수는 훨씬 작다.

1STEP 1

쿠키를 세기 문제로 바꾸기

묶음을 초코칩 c개, 오트밀 o개, 땅콩버터 p개로 적으면 c + o + p = 6이고 각 개수는 0 이상이다.

c + o + p = 6, c, o, p ≥ 0 정수
2STEP 2

초코칩 개수를 먼저 고정하기

묶음을 초코칩 개수 c로 분류하면 c는 0부터 6까지이고, 나머지는 o + p = 6 - c로 나뉜다.

각 c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}에 대해: o + p = 6 - c
3STEP 3

두 종류 나눔 세기

남은 L = 6 - c에서 o를 0부터 L까지 두면 p가 정해져 L + 1가지, 곧 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1이다.

#{(o,p): o+p=L} = L+1 → 7,6,5,4,3,2,1
4STEP 4

모든 경우를 더하기

각 묶음의 c는 하나뿐이라 일곱 경우가 겹치지 않고 빠짐없으니 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28이고 답은 (D).

7+6+5+4+3+2+1 = 28 → (D)
정답
28
답 28은 선택지 사이에서 타당하게 자리 잡는다. 함정 729 = 3⁶은 여섯 개 쿠키를 하나씩 차례로 집고 각 선택이 자유롭게 세 종류 중 하나일 때만 맞는데, 그것은 순서를 세는 것이고 여기서는 순서를 무시하므로 실제 총합은 729보다 훨씬 작아야 해서 (E)는 제외된다. 작은 오답 22, 25, 27은 한두 경우를 빠뜨린 근접값이며, 꼼꼼한 경우별 훑기는 정확히 28에 도달한다. 경계값 확인도 통과한다: 한 종류로만 된 묶음(모두 초코칩, 모두 오트밀, 모두 땅콩버터)은 28개 중 3개인데 이는 맞아떨어진다.
💡핵심 정리

각 종류의 개수만 중요할 때는 한 종류를 먼저 고정해 순서대로 묶음을 나열하라 — 여기서는 7+6+5+4+3+2+1 = 28이 된다.

  • 쿠키를 세기 문제로 바꾸기
  • 초코칩 개수를 먼저 고정하기
  • 두 종류 나눔 세기
  • 모든 경우를 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.