AMC 10 · 2003 · #7
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
둘레가 고정된 정수 변 삼각형이 "몇 개"인지 묻는 것은 유한한 세기 문제이므로 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 바로 이런 경우를 위한 것이고, 변을 a ≤ b ≤ c 순서로 쓰면 목록이 중복 없이 완전해진다. 도구 #14(극단의 원리)가 먼저 탐색 범위를 줄인다: 가장 긴 변 c가 가장 빡빡한 제약이며, 삼각형 부등식이 그 크기의 상한을 정해 나열을 시작하기도 전에 c를 하나의 값으로 못 박는다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마지막 걸러 내기를 한다: 정수 변 조합을 나열한 뒤 삼각형 부등식을 어기는 것을 버리고, 남은 것을 센다.
가장 긴 변의 범위 정하기
변을 a ≤ b ≤ c로 정렬하면 a+b ＞ c여야 하고, a+b=7-c이므로 7-c ＞ c이다.
가장 긴 변이 삼각형을 깨뜨릴 가능성이 가장 크므로, 그것을 나머지 두 변과 견주는 것이 가장 날카로운 하나의 점검이다.
가장 긴 변이 삼각형을 무너뜨릴 가능성이 가장 크므로, 그것을 시험하는 것이 가장 날카로운 한 번의 확인이다.
▸ 왜?
삼각형이 닫히는 것은 나머지 두 변의 합이 가장 긴 변보다 클 때뿐이다.
▸ 왜?
짧은 변은 이미 다른 한 변보다도 작으므로, 그 시험은 결코 어긋나지 않는다.
가장 긴 변을 하나의 값으로 확정하기
7 ＞ 2c에서 c ＜ 3.5이고 c는 7의 삼분의 일 이상이므로 c=3, 나머지 두 변의 합은 4이다.
가장 긴 변을 아래 경계와 위 경계 사이에 끼워 넣으면 자연수는 단 하나만 남아, 전체 탐색이 한 가지 경우로 줄어든다.
6.EE.B.8Extreme Principle변 조합을 나열하고 진짜 삼각형만 남기기
a+b=4, a ≤ b ≤ 3인 조합은 (1,3,3)과 (2,2,3)뿐이고, 둘 다 부등식을 통과하므로 2개이다.
가장 긴 변이 정해지면 남는 순서쌍은 몇 개뿐이므로, 짧고 빠짐없는 목록으로 세기가 끝난다.
7.G.A.2Make A Systematic List둘레가 정해진 정수 변 삼각형에서는, 먼저 삼각형 부등식으로 가장 긴 변의 범위를 좁힌 다음, 남는 몇 안 되는 변 조합을 나열하라.
- 가장 긴 변의 범위 정하기
- 가장 긴 변을 하나의 값으로 확정하기
- 변 조합을 나열하고 진짜 삼각형만 남기기