AMC 10 · 2003 · #7

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

polygon-inequalitysystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: polygon-inequality

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $7$ 인 삼각형 중 서로 합동이 아닌 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 자연수이고 그 합(둘레)이 $7$인 삼각형의 개수를 구하라. 단, 모양과 크기가 같은(합동인) 두 삼각형은 하나로만 센다.

주어진 것: 각 삼각형의 세 변의 길이는 양의 정수이다; 세 변의 길이의 합, 즉 둘레는 $7$이다; 합동인(세 변의 길이가 같은) 삼각형은 한 번만 센다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 둘레가 $7$인 정수 변 삼각형 중 서로 합동이 아닌 것의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #3 가능성 지우기

둘레가 고정된 정수 변 삼각형이 "몇 개"인지 묻는 것은 유한한 세기 문제이므로 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 바로 이런 경우를 위한 것이고, 변을 $a \le b \le c$ 순서로 쓰면 목록이 중복 없이 완전해진다. 도구 #14(극단의 원리)가 먼저 탐색 범위를 줄인다: 가장 긴 변 $c$가 가장 빡빡한 제약이며, 삼각형 부등식이 그 크기의 상한을 정해 나열을 시작하기도 전에 $c$를 하나의 값으로 못 박는다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마지막 걸러 내기를 한다: 정수 변 조합을 나열한 뒤 삼각형 부등식을 어기는 것을 버리고, 남은 것을 센다.

실행 — 정답: B

#14 극단의 원리 7.G.A.2 단계 1

가장 긴 변의 범위 정하기

변을 커지는 순서로 $a \le b \le c$라 쓰면 $c$가 가장 긴 변이다.
삼각형 부등식에 따르면 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 커야 한다: $a+b>c$.
둘레가 $7$이므로 짧은 두 변의 합은 $a+b=7-c$이다.
이를 대입하면 $7-c>c$가 된다.

$$a+b>c \;\Rightarrow\; 7-c>c$$

💡 가장 긴 변이 삼각형을 깨뜨릴 가능성이 가장 크므로, 그것을 나머지 두 변과 견주는 것이 가장 날카로운 하나의 점검이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 2

가장 긴 변을 하나의 값으로 확정하기

$7-c>c$를 푼다: 양변에 $c$를 더하면 $7>2c$, 즉 $c<3.5$이다.
$c$는 합이 $7$인 세 변 중 가장 긴 변이므로 $7$의 삼분의 일 이상이어야 하고, 따라서 $c \ge 3$이다.
$3 \le c < 3.5$를 만족하는 자연수는 $c=3$뿐이다.
그러므로 이런 삼각형은 모두 가장 긴 변이 $3$이고, 짧은 두 변의 합은 $a+b=7-3=4$이다.

$$7-c>c \Rightarrow c<3.5,\quad c \ge \tfrac{7}{3} \Rightarrow c=3,\quad a+b=4$$

💡 가장 긴 변을 아래 경계와 위 경계 사이에 끼워 넣으면 자연수는 단 하나만 남아, 전체 탐색이 한 가지 경우로 줄어든다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.G.A.2 단계 3

변 조합을 나열하고 진짜 삼각형만 남기기

$c=3$으로 고정하고, $a+b=4$를 만족하는 양의 정수 $a \le b \le 3$을 나열한다: $a=1,b=3$이면 변이 $(1,3,3)$, $a=2,b=2$이면 변이 $(2,2,3)$이다.
각각을 삼각형 부등식으로 확인한다: $(1,3,3)$은 $1+3=4>3$이므로 성립하고, $(2,2,3)$은 $2+2=4>3$이므로 역시 성립한다.
둘 다 유효하며 서로 다른 모양이므로 삼각형은 $2$개이고, 이는 선택지 (B)이다.

$$(1,3,3):\;1+3>3\;\checkmark \qquad (2,2,3):\;2+2>3\;\checkmark \;\Rightarrow\; 2 \text{개의 삼각형 } \textbf{(B)}$$

💡 가장 긴 변이 정해지면 남는 순서쌍은 몇 개뿐이므로, 짧고 빠짐없는 목록으로 세기가 끝난다.

[1] #14 7.G.A.2 변을 커지는 순서로 $a \le b \le c$라 쓰면 $c$가 가장 긴 변이다. 삼각형 부등식에 따르면 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 커

[2] #14 6.EE.B.8 $7-c>c$를 푼다: 양변에 $c$를 더하면 $7>2c$, 즉 $c<3.5$이다. $c$는 합이 $7$인 세 변 중 가장 긴 변이므로 $7$의

[3] #2 7.G.A.2 $c=3$으로 고정하고, $a+b=4$를 만족하는 양의 정수 $a \le b \le 3$을 나열한다: $a=1,b=3$이면 변이 $(1,3,3)

검토

합리성 확인: 삼각형 규칙을 잠시 무시하고 $a+b+c=7$을 만족하는 정수 변 $a \le b \le c$를 그냥 나열해 점검한다: $(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)$ — 네 가지 조합이다. 앞의 두 개는 삼각형 부등식을 어긴다($1+1<5$, $1+2<4$: 너무 납작해서 닫히지 않는다). 그래서 앞에서 찾은 두 개 $(1,3,3)$과 $(2,2,3)$만 남는다. 이는 답이 $2$임을 확인하고, 답이 더 큰 $4$(선택지 D)가 아닌 이유도 보여 준다.

대안 접근: 범위를 좁히는 단계를 건너뛰고, 합이 $7$인 모든 순서쌍 $a \le b \le c$를 전부 나열한 뒤 각각에 삼각형 부등식을 적용한다: $(1,1,5)$ 안 됨, $(1,2,4)$ 안 됨, $(1,3,3)$ 됨, $(2,2,3)$ 됨. "됨"인 경우를 세면 $2$로, 선택지 (B)와 일치한다. 범위를 좁히는 방법은 $c \ne 3$을 미리 배제해 같은 두 경우에 더 빨리 도달할 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.2 주어진 조건으로 삼각형을 포함한 도형 그리기 (삼각형 부등식을 적용하여 어떤 세 변의 길이 조합이 실제로 삼각형을 이루는지 판별하기.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식 쓰고 수직선에 나타내기 ($7-c>c$를 풀어 $c<3.5$를 얻고, $c \ge 3$과 결합하여 $c=3$으로 확정하기.)

⭐ 둘레가 정해진 정수 변 삼각형에서는, 먼저 삼각형 부등식으로 가장 긴 변의 범위를 좁힌 다음, 남는 몇 안 되는 변 조합을 나열하라.