AMC 10 · 2003 · #8
학년 7 probability60의 양의 약수 중 하나를 무작위로 뽑을 때, 그 약수가 7보다 작을 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $60$의 양의 약수 하나를 무작위로 뽑습니다. 모든 약수가 뽑힐 확률은 같습니다. 뽑은 약수가 $7$보다 작을 확률을 구하세요.
주어진 것: 기준이 되는 수는 $60$입니다; $60$의 양의 약수는 $60$을 나누어떨어지게 하는 자연수입니다; $60$의 모든 양의 약수는 뽑힐 확률이 똑같습니다; 선택지: (A) $\frac{1}{10}$, (B) $\frac{1}{6}$, (C) $\frac{1}{4}$, (D) $\frac{1}{3}$, (E) $\frac{1}{2}$
구하는 것: 뽑은 약수가 $7$보다 작을 확률
이해
문제 재정리: $60$의 양의 약수 하나를 무작위로 뽑습니다. 모든 약수가 뽑힐 확률은 같습니다. 뽑은 약수가 $7$보다 작을 확률을 구하세요.
주어진 것: 기준이 되는 수는 $60$입니다; $60$의 양의 약수는 $60$을 나누어떨어지게 하는 자연수입니다; $60$의 모든 양의 약수는 뽑힐 확률이 똑같습니다; 선택지: (A) $\frac{1}{10}$, (B) $\frac{1}{6}$, (C) $\frac{1}{4}$, (D) $\frac{1}{3}$, (E) $\frac{1}{2}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기
이런 확률은 결국 분수 하나이므로, 할 일은 두 번의 개수 세기입니다. $7$보다 작은 약수가 몇 개인지(분자)와 약수가 모두 몇 개인지(분모)입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 빠뜨리거나 겹치지 않고 이 두 개수를 얻는 안전한 방법입니다. $60$의 약수를 곱이 $60$이 되는 짝으로 순서대로 적으면, 같은 목록에서 두 개수를 바로 읽을 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 개수를 따로 관리해 분수를 깔끔하게 조립하게 해 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 확인을 줍니다. 각 약수 $d$를 짝 $60/d$와 묶으면, 작은 약수와 큰 약수가 정확히 반씩 나뉜다는 것을 보여 줍니다.
실행 — 정답: E
4.OA.B.4 단계 1 60의 모든 약수 나열하기
- 곱이 $60$이 되는 짝으로 약수를 만듭니다: $1\times 60$, $2\times 30$, $3\times 20$, $4\times 15$, $5\times 12$, $6\times 10$.
- $6\times 10$ 다음부터는 짝의 두 수가 서로 넘어가므로 목록이 완성됩니다.
- 순서대로 적으면 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$입니다.
- 세어 보면 $60$의 약수는 모두 $12$개입니다.
💡 곱이 $60$이 되는 짝으로 약수를 나열하면 모두 빠짐없이 찾고 알맞은 곳에서 멈출 수 있습니다.
4.OA.B.4 단계 2 7보다 작은 약수 세기
- 같은 목록에서 $7$보다 작은($6$ 이하인) 약수를 골라냅니다: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
- 모두 $6$개입니다.
- $6$ 다음 약수가 바로 $10$으로 건너뛰는 것에 주목하세요.
- $7, 8, 9$는 $60$의 약수가 아니므로 $6$과 $10$ 사이에서 놓친 것이 없습니다.
💡 원하는 개수는 $7$보다 작은 마지막 약수까지, 순서대로 정렬된 목록의 앞부분일 뿐입니다.
7.SP.C.7 단계 3 확률을 분수로 쓰기
- 모든 약수가 똑같이 뽑히므로, 확률은 원하는 약수의 개수를 전체 약수의 개수로 나눈 값입니다.
- 즉 $\dfrac{7\text{보다 작은 약수}}{\text{전체 약수}}=\dfrac{6}{12}$입니다.
💡 결과들이 똑같이 일어날 때, 확률은 그저 유리한 개수를 전체 개수로 나눈 것입니다.
4.NF.A.1 단계 4 분수 간단히 하기
- $\dfrac{6}{12}$의 분자와 분모를 $6$으로 나누어 약분합니다: $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
- 따라서 무작위로 뽑은 $60$의 약수가 $7$보다 작을 확률은 $\dfrac{1}{2}$이며, 이는 선택지 (E)입니다.
💡 분자와 분모를 같은 수로 나누면 분수의 값은 그대로 두면서 가장 간단한 꼴로 나타냅니다.
4.OA.B.4 곱이 $60$이 되는 짝으로 약수를 만듭니다: $1\times 60$, $2\times 30$, $3\times 20$, $4\times 15$ 4.OA.B.4 같은 목록에서 $7$보다 작은($6$ 이하인) 약수를 골라냅니다: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. 모두 $6$개입니다. $6$ 다음 약수가 7.SP.C.7 모든 약수가 똑같이 뽑히므로, 확률은 원하는 약수의 개수를 전체 약수의 개수로 나눈 값입니다. 즉 $\dfrac{7\text{보다 작은 약수}} 4.NF.A.1 $\dfrac{6}{12}$의 분자와 분모를 $6$으로 나누어 약분합니다: $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$. 따라서 무작위로 검토
합리성 확인: $12$개의 약수 중 정확히 절반인 $6$개가 $7$보다 작고, 절반의 확률은 $\frac{1}{2}$이므로 선택지 (E)와 일치하며, 모든 확률이 그러하듯 $0$과 $1$ 사이에 있습니다. 빠른 확인: 작은 약수 $1,2,3,4,5,6$은 $7$ 아래에, 큰 약수 $10,12,15,20,30,60$은 $7$ 위에 있어 $6$ 대 $6$으로 완벽하게 나뉩니다.
대안 접근: 짝짓기 아이디어(도구 #16)를 씁니다. $60$의 모든 약수 $d$는 약수 $60/d$와 짝을 이루고, $60$은 완전제곱수가 아니므로 두 수가 같아지는 일은 없습니다. 각 짝에서 한 쪽은 $6$ 이하, 다른 쪽은 $10$ 이상입니다(예: $6\leftrightarrow10$, $5\leftrightarrow12$, $1\leftrightarrow60$). 그래서 약수는 $7$보다 작은 것과 큰 것이 정확히 같은 개수로 나뉘고, 목록을 끝까지 완성하지 않아도 확률이 정확히 $\frac{1}{2}$임이 강제됩니다 — 같은 답 (E)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($60$의 약수 $12$개를 곱이 $60$이 되는 짝으로 모두 나열하고, 그중 $7$보다 작은 $6$개를 골라내는 데 사용.)7.SP.C.7Develop probability models and use them to find probabilities of events (결과가 똑같이 일어날 때, 확률을 유리한 약수 대 전체 약수 $\frac{6}{12}$으로 쓰는 데 사용.)4.NF.A.1Explain why a fraction is equivalent to another fraction ($\frac{6}{12}$을 가장 간단한 꼴 $\frac{1}{2}$로 약분하는 데 사용.)
⭐ "약수가 뽑힐 확률" 문제는 곱이 그 수가 되는 짝으로 모든 약수를 나열하고, 원하는 개수와 전체 개수를 센 다음, 분수를 간단히 하면 됩니다.
⭐ "약수가 뽑힐 확률" 문제는 곱이 그 수가 되는 짝으로 모든 약수를 나열하고, 원하는 개수와 전체 개수를 센 다음, 분수를 간단히 하면 됩니다.
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