AMC 10 · 2003 · #23

학년 6 counting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

triangular-numberspattern-recognitionsystematic-enumeration easier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: triangular-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

이쑤시개로 합동인 작은 정삼각형들을 여러 줄로 쌓아 큰 정삼각형을 만들고, 이쑤시개 하나가 변 하나가 된다. 예시 그림은 3줄이고 맨 아랫줄에 작은 삼각형이 5개 있다. 맨 아랫줄에 작은 정삼각형이 2003개일 때 이쑤시개는 몇 개 필요한가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1,004,004

(B)

1,005,006

(C)

1,507,509

(D)

3,015,018

(E)

6,021,018

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

이쑤시개를 곧바로 세는 것은 함정이다. 대부분의 이쑤시개는 위 삼각형과 아래 삼각형이 함께 쓰는 변이라, 그냥 세면 중복해서 세게 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 한 번에 해결한다. 위를 향한 삼각형만 보면 된다. 모든 이쑤시개는 정확히 하나의 위 삼각형의 변이고, 서로 다른 두 위 삼각형은 이쑤시개를 공유하지 않는다. 따라서 이쑤시개의 총 개수는 위 삼각형 개수의 정확히 3배이며, 중복을 보정할 필요가 없다. 도구 #5(패턴 찾기)로 위 삼각형을 줄마다 (1, 2, 3, …) 세고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 2003에 쓰기 전에 작은 예시 그림에서 이 방법을 먼저 검증한다.

1STEP 1

맨 아랫줄로부터 줄 수 세기

각 줄의 삼각형은 1, 3, 5, …개로 늘어 $r$ 번째 줄은 $2r-1$ 개다. $2r-1=2003$ 이므로 줄은 1002개다.

2r-1=2003 → r=1002 줄

2STEP 2

위를 향한 삼각형만 보기

모든 이쑤시개는 위 삼각형 하나의 변이고 두 위 삼각형이 변을 공유하지 않으니, 이쑤시개는 위 삼각형 수의 3배다.

이쑤시개 = 3 × (위를 향한 삼각형 개수)

3STEP 3

예시 그림으로 아이디어 검증하기

3줄 그림으로 시험하자. 위 삼각형이 1+2+3=6개이니 규칙은 3 × 6 = 18개를 예측하고, 그림과 맞는다.

3×(1+2+3)=18 = 9_경계 + 9_내부

4STEP 4

위를 향한 삼각형 전부 세기

$k$ 번째 줄에 위 삼각형이 $k$ 개이니 $1+2+\cdots+1002 = \frac{1002 \times 1003}{2}$ = 502,503개다.

Σ_k=1¹⁰⁰² k=(1002 · 1003)/2=502,503

5STEP 5

삼각형 개수에 3을 곱해 이쑤시개 총합 구하기

각 위 삼각형이 이쑤시개 3개를 가지므로 3 × 502,503 = 1,507,509개, 답은 (C)다.

3 × 502,503 = 1,507,509 (C)

정답

1,507,509

답 1,507,509는 선택지 (C)다. 크기 점검: 선택지 (A) 1,004,004=1002²은 정확히 작은 삼각형의 개수인데, 이는 이쑤시개보다 적어야 한다(삼각형마다 변이 3개이고 대부분 공유되므로 이쑤시개는 삼각형 수의 약 1.5배가 되어야 한다). 실제로 1,507,509 ≈ 1.5 × 1,004,004이라 잘 맞는다. 일의 자리 점검으로도 (C)만 남는다. 1002 · 1003의 일의 자리는 6, 반으로 나누면 일의 자리가 3, 세 배 하면 일의 자리가 9인데, 9로 끝나는 것은 (C)뿐이다.

💡핵심 정리

조각들이 변을 공유할 때는 위를 향한 조각만 세라. 각 변은 그중 정확히 하나에 속하므로, 전체 변의 수는 그 개수의 세 배일 뿐이다.

맨 아랫줄로부터 줄 수 세기
위를 향한 삼각형만 보기
예시 그림으로 아이디어 검증하기
위를 향한 삼각형 전부 세기
삼각형 개수에 3을 곱해 이쑤시개 총합 구하기

맨 아랫줄로부터 줄 수 세기

위를 향한 삼각형만 보기

예시 그림으로 아이디어 검증하기

위를 향한 삼각형 전부 세기

삼각형 개수에 3을 곱해 이쑤시개 총합 구하기

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