AMC 10 · 2008 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

similar-figuresarea-trianglesperfect-squares easier-related-problem ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 10인 큰 정삼각형이 있다. 이 삼각형을 한 변의 길이가 1인 작은 정삼각형들로 빈틈도 겹침도 없이 완전히 채운다. 작은 정삼각형이 몇 개 필요한지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 10$

(B)

$\ 25$

(C)

$\ 100$

(D)

$\ 250$

(E)

$\ 1000$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

한 변 10은 한 번에 그려서 세기 어려우니 먼저 문제를 줄인다 (도구 #9). 한 변 1, 2, 3짜리를 직접 그려 보고 (도구 #1) 세어 보면 1, 4, 9, 즉 제곱수가 나온다. 이 패턴 (도구 #5)은 한 변이 n인 삼각형에 n²개가 필요함을 말해 주고, 그러면 한 변 10은 10²일 뿐이다. 각 작은 경우를 눈으로 보고 확인할 수 있으니 넓이 공식을 다루는 것보다 패턴 방법이 더 안전하다.

1STEP 1

작은 삼각형을 나누기

작게 시작한다. 한 변 2인 삼각형은 위 3개와 아래 1개, 즉 단위 삼각형 4개로 나뉘고 한 변 3은 9개다.

한 변 2 → 4, 한 변 3 → 9

2STEP 2

행 단위로 세기

아래에서 위로 행을 센다. 한 변 n인 삼각형은 2n-1, 2n-3, …, 3, 1로 2씩 줄고, 한 변 3은 5+3+1=9다.

한 변 n: (2n-1)+(2n-3)+…+3+1

3STEP 3

제곱수 알아채기

합계 1, 4, 9, 16은 정확히 1², 2², 3², 4²이므로 한 변 n인 삼각형에는 단위 삼각형이 n²개 필요하다.

1,4,9,16 = 1²,2²,3²,4² → 한 변 n → n²

4STEP 4

한 변 10에 적용하기

규칙에 n=10을 넣으면 10² = 10 × 10 = 100, 즉 선택지 (C)다. 개수는 한 변의 제곱으로 커지니 10은 아니다.

n=10: 10² = 100 → (C)

정답

100

답 100은 독립적인 넓이 확인을 통과한다. 닮은 삼각형은 넓이가 길이 비의 제곱으로 커지고, 큰 삼각형은 각 변이 단위 삼각형의 10배이므로 넓이는 10²=100배다. 넓이가 같은 조각들이 빈틈없이 채우려면 그 개수는 100이어야 한다. 행 단위 세기와 넓이 논증이 같은 값에 이르고, 100은 선택지 (C)다. 오답들은 전형적인 함정이다. 10 (제곱을 잊음), 250과 1000 (지나치게 키움).

💡핵심 정리

한 변이 n인 삼각형을 단위 삼각형으로 만들면 n × n개가 필요하므로, 한 변 10은 10² = 100개다.

작은 삼각형을 나누기
행 단위로 세기
제곱수 알아채기
한 변 10에 적용하기

작은 삼각형을 나누기

행 단위로 세기

제곱수 알아채기

한 변 10에 적용하기

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