AMC 10 · 2004 · #19

학년 6 arithmetic
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula
recursive-sequencepattern-recognitionmodular-arithmetic pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: recursive-sequence
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 수열이 2001, 2002, 2003, …으로 시작합니다. 네 번째 항부터는 각 항을 바로 앞 항보다 앞선 두 항을 더한 뒤 바로 앞 항을 빼서 구합니다. 예를 들어 네 번째 항은 2001 + 2002 - 2003 = 2000입니다. 이 수열의 2004번째 항은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-2004
(B)
-2
(C)
0
(D)
4003
(E)
6007

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

2004 번째 항까지 한 항씩 계산하는 것은 불가능하므로, 초반 몇 항을 계산해 패턴을 찾는 것이 핵심입니다(도구 #5). 원래 나열 2001, 2002, 2003, 2000, 2005, 1998, 2007, 1996, … 은 들쭉날쭉해 보이지만, 홀수 번째와 짝수 번째 위치로 나누면(도구 #15) 각 절반이 깔끔하고 일정한 수열이 됩니다. 2004는 짝수이므로 짝수 위치 절반만 중요합니다. 마지막으로 선택지들이 서로 멀리 떨어져 있어, 올바른 값 하나가 한 선택지를 확정하고 나머지를 지웁니다(도구 #3).

1STEP 1

처음 몇 항 만들기

규칙을 반복 적용해 다음 항 2000, 2005, 1998, 2007, 1996을 얻습니다 — 지그재그로 보입니다.

a₄=2000, a₅=2005, a₆=1998, a₇=2007, a₈=1996
2STEP 2

홀수·짝수 위치로 나누기

위치로 나누면 홀수 2001, 2003, 2005, 2007은 2씩 커지고 짝수 2002, 2000, 1998, 1996은 2씩 줄어듭니다.

짝수 위치: 2002, 2000, 1998, 1996, … (2 씩 감소)
3STEP 3

짝수 패턴을 2004번째까지 연장하기

k번째 짝수 항은 2002 - 2(k-1)이고, 2004번째는 1002번째 짝수 항이므로 2002 - 2·1001 = 0입니다.

a₂₀₀₄ = E₁₀₀₂ = 2002 - 2 · 1001 = 0
4STEP 4

값을 선택지와 맞추기

2004번째 항은 0이고 이는 선택지 (C)입니다. 다른 값은 짝수 위치 규칙에 맞지 않습니다.

a₂₀₀₄ = 0 → (C)
정답
0
짝수 항 2002, 2000, 1998, …은 2씩 꾸준히 내려가고, 첫 짝수 항부터 1002번째까지는 -2씩 1001번의 단계, 즉 총 2002만큼 내려갑니다 — 정확히 2002 - 2002 = 0에 도착합니다. 값이 패턴이 가리키는 자리에 딱 맞고, 0이 제시된 선택지 중 하나이므로 (C)가 일관됩니다.
💡핵심 정리

수열이 지그재그일 때는 항을 짝수·홀수 위치로 나누세요 — 각 절반이 흔히 일정한 폭으로 변하는 패턴이 되어 원하는 항으로 바로 건너뛸 수 있습니다.

  • 처음 몇 항 만들기
  • 홀수·짝수 위치로 나누기
  • 짝수 패턴을 2004번째까지 연장하기
  • 값을 선택지와 맞추기

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